В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество нечётно, больше 30 и меньше 80?

Задача решается через введение суммарных количеств красных, синих и белых шаров по всем коробкам. 1) Обозначения - Пусть R = общее число красных шаров во всех коробках, - W = общее число белых шаров во всех коробках, - B = общее число синих шаров во всех коробках. Согласно условиям для каждой коробки i: - число синих в коробке i равно сумме белых во всех других коробках: B_i = W − W_i. - число белых в коробке i равно сумме красных во всех других коробках: W_i = R − R_i. 2) Связанные суммы - Суммируем первое равенство по i: B = ∑ B_i = ∑(W − W_i) = 5W − ∑ W_i = 5W − W = 4W. Значит B = 4W. - Суммируем второе равенство по i: W = ∑ W_i = ∑(R − R_i) = 5R − ∑ R_i = 5R − R = 4R. Значит W = 4R. 3) Общие итоги в терминах R - из W = 4R следует B = 4W = 4·(4R) = 16R. - Общее число шаров T = R + W + B = R + 4R + 16R = 21R. 4) По условию задачи - T нечётно и 30 < T < 80. Так как T = 21R, T нечётно требует, чтобы R было нечётным. - Подбираем R: 21·1 = 21 (мало), 21·3 = 63 (подходит), 21·5 = 105 (сверх). Значит R = 3. - Тогда W = 4R = 12, B = 16R = 48, и T = 63. 5) Пример распределения по коробкам (для наглядности) Чтобы увидеть, что такое исполнение условий, можно выбрать распределение красных по коробкам так, чтобы ∑R_i = R = 3. Например: - R_i = (3, 0, 0, 0, 0). Тогда W_i = 3 − R_i = (0, 3, 3, 3, 3), и B_i = W − W_i = (12, 9, 9, 9, 9). Проверка: - Сумма по коробкам: R = 3, W = 12, B = 48, всего 63. - Для любой коробки i: B_i = сумма белых остальных: для i=1 — 3+3+3+3 = 12; для i=2 — 0+3+3+3 = 9 и т.д. - Для любой коробки i: W_i = сумма красных остальных: для i=1 — 0+0+0+0 = 0; для i=2 — 3+0+0+0 = 3 и т.д. Ответ: во всех коробках лежит всего 63 шара.