В пяти ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно…

Задача решается через введение суммарных количеств красных, синих и белых шаров по всем коробкам.

1. Обозначения

• Пусть R = общее число красных шаров во всех коробках,
• W = общее число белых шаров во всех коробках,
• B = общее число синих шаров во всех коробках.

Согласно условиям для каждой коробки i:

• число синих в коробке i равно сумме белых во всех других коробках: B_i = W − W_i.
• число белых в коробке i равно сумме красных во всех других коробках: W_i = R − R_i.

2. Связанные суммы

• Суммируем первое равенство по i: B = ∑ B_i = ∑(W − W_i) = 5W − ∑ W_i = 5W − W = 4W. Значит B = 4W.

• Суммируем второе равенство по i: W = ∑ W_i = ∑(R − R_i) = 5R − ∑ R_i = 5R − R = 4R. Значит W = 4R.

3. Общие итоги в терминах R

• из W = 4R следует B = 4W = 4·(4R) = 16R.
• Общее число шаров T = R + W + B = R + 4R + 16R = 21R.

4. По условию задачи

• T нечётно и 30 < T < 80. Так как T = 21R, T нечётно требует, чтобы R было нечётным.
• Подбираем R: 21·1 = 21 (мало), 21·3 = 63 (подходит), 21·5 = 105 (сверх). Значит R = 3.
• Тогда W = 4R = 12, B = 16R = 48, и T = 63.

5. Пример распределения по коробкам (для наглядности) Чтобы увидеть, что такое исполнение условий, можно выбрать распределение красных по коробкам так, чтобы ∑R_i = R = 3. Например:

• R_i = (3, 0, 0, 0, 0). Тогда W_i = 3 − R_i = (0, 3, 3, 3, 3), и B_i = W − W_i = (12, 9, 9, 9, 9).

Проверка:

• Сумма по коробкам: R = 3, W = 12, B = 48, всего 63.
• Для любой коробки i: B_i = сумма белых остальных: для i=1 — 3+3+3+3 = 12; для i=2 — 0+3+3+3 = 9 и т.д.
• Для любой коробки i: W_i = сумма красных остальных: для i=1 — 0+0+0+0 = 0; для i=2 — 3+0+0+0 = 3 и т.д.

Ответ: во всех коробках лежит всего 63 шара.