Задание 18. Миша связывает шарики. Каждый из шариков соединен тремя нитками с тремя другими шариками. Может ли всего у Миши оказаться 4 шарика? Ответ обоснуйте.

Да. Для 4 шариков это возможно — каждый шарик может быть связан со всеми остальными тремя, то есть образуется полной граф K4.

Пошагово:

• Пусть всего шариков n. Каждый шарик соединён с тремя другими, значит суммарная степень графа равно 3n.
• Каждое ребро считается вдвойне (одну «нитку» учитывают два шарика), поэтому 2E = суммарная степень = 3n, отсюда E = 3n/2.
• Для n = 4 получаем E = 3·4/2 = 6. Это количество ребер возможно только если между всеми парами шариков есть нитки: число пар из 4 объектов равно C(4,2) = 6.
• Следовательно, каждый шарик соединён с каждым другим шариком — образуется полный граф K4.
• В визуальном виде: разместите шарики как вершины тетраэдра и проведите нитками все пары между ними. Тогда у каждого шарика будет ровно 3 нитки.

Итого: да, 4 шарика могут быть связаны так, чтобы каждый шарик был связан с тремя другими. Ответ обоснован через равномерность степеней и максимальное число пар между четырьмя шариками.