Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если известно что угол BMC=140°

Задача: В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC высоты, опущенные к боковым сторонам AB и AC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если известно, что ∠BMC = 140°.

Разберёмся шаг за шагом.

1. Что значит равнобедренный треугольник ABC?

• Так как треугольник равнобедренный и боковые стороны AB и AC, то AB = AC.
• Следовательно, углы при основаниях B и C равны: ∠B = ∠C.

2. Что за точки M?

• Высоты к боковым сторонам AB и AC: MB ⟂ AC и MC ⟂ AB.
• Точка M — точка пересечения этих высот (орт Center треугольника).

3. Связь ∠BMC с ∠A

• MB перпендикулярна AC, а MC перпендикулярна AB.
• Угол между MB и MC равен углу между линиями, перпендикулярными AB и AC, то есть равен углу между AB и AC, а значит связан с ∠A.
• Однако угол ∠BMC, который виден в точке M, является не меньшим углом между MB и MC, а их противоположным (обозначение 180° minus соответствующий угол). Поэтому: ∠BMC = 180° − ∠A.

4. Подстановка

• Из условия ∠BMC = 140° получаем 140° = 180° − ∠A, значит ∠A = 40°.

5. Найдём ∠B и ∠C

• ∠B = ∠C (основание равнобедренного треугольника).
• Сумма углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• Поэтому 40° + 2∗∠B = 180° → ∠B = ∠C = (180° − 40°)/2 = 70°.

Ответ:

• ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°.