В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Какую часть от площади четырёхугольника ABCD составляет площадь четырёхугольника ABMN ?
Кратко: площадь четырехугольника ABMN равна одной четверти площади ABCD, независимо от формы выпуклого ABCD.
Пошаговое решение с использованием векторов/площадей по Шоелу:
- Обозначения.
- Пусть координаты точек A, B, C, D обозначим векторами a, b, c, d.
- M — середина AC, значит m = (a + c)/2.
- N — середина BD, значит n = (b + d)/2.
Площадь ABMN через ориентированную площадь пар векторов. Для многоугольника ABMN ориентированную площадь можно записать как: Area(ABMN) = 1/2 | a×b + b×m + m×n + n×a |, где × означает 2D-векторное произведение (скалярное), дающее ориентированную площадь параллелограмма.
Подстановка m и n и упрощение. b×m = b×((a + c)/2) = (b×a + b×c)/2, m×n = ((a + c)/2)×((b + d)/2) = (a×b + a×d + c×b + c×d)/4, n×a = ((b + d)/2)×a = (b×a + d×a)/2.
Соберём всё вместе: a×b + b×m + m×n + n×a = a×b
- (b×a + b×c)/2
- (a×b + a×d + c×b + c×d)/4
- (b×a + d×a)/2.
Упрощая и пользуясь свойствами, что b×a = -a×b и c×b = -b×c, d×a = -a×d, получаем: = (1/4) (a×b + b×c + c×d + d×a).
Обозначим S = a×b + b×c + c×d + d×a. Тогда получаем: Area(ABMN) = 1/2 | (1/4) S | = (1/8) |S|.
Площадь ABCD. Area(ABCD) = 1/2 | S |.
Соотношение площадей. Area(ABMN) = (1/8) |S| = (1/4) · (1/2 |S|) = (1/4) Area(ABCD).
Ответ: площадь ABMN равна одной четверти площади ABCD.
