отрезки В Д и А С пересичины в их середине О. Доказать что А В паралейно Д

Задача: В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и являются их серединами (AO = OC и BO = OD). Доказать, что AB параллельно CD.

Решение 1. Векторно-координатный подход

• Пусть O является началом координат. Обозначим вектора OA = a, OB = b. Тогда OC = −a, OD = −b, потому что O — середина каждой диагонали.
• Вектор стороны AB равен AB = OB − OA = b − a.
• Вектор стороны DC равен DC = C − D = (−a) − (−b) = −a + b = b − a.
• Следовательно AB и DC имеют одинаковый направляющий вектор; значит они коллинеарны и параллельны, а также равной длины: AB ∥ CD и AB = CD.

Вывод: диагонали AC и BD пересекаются в их серединах тогда и только тогда, когда ABCD является параллелограммом, т. е. AB ∥ CD и AD ∥ BC. В данном случае доказано, что AB ∥ CD.

Замечание (краткий синтетический подход). Можно также привести треугольники AOB и COD и отметить, что AO = OC, BO = OD и ∠AOB = ∠COD (вертикальные углы). По SAS эти треугольники равны, отсюда соответствующие стороны AB и CD равны и образуют одинаковый угол с линией BD, что снова даёт AB ∥ CD.