Вершины A и C выпуклого четырёхугольника ABCD соединили с серединами противолежащих сторон (рис. 3). Найдите площадь четырёхугольника AECF , если площадь ABCD равна 60 .

Задача: В выпуклом четырехугольнике ABCD вершины A и C соединили с серединами противолежащих сторон. Пусть E — середина BC, F — середина CD. Найдите площадь AECF, если площадь ABCD равна 60. Пояснение и решение (пошагово): 1) Обозначения и разбор конфигурации - E — середина стороны BC. - F — середина стороны CD. - Четырёхугольник AECF состоит из двух треугольников: ACE и ACF (они имеют общую грань AC). 2) Площадь треугольника ACE - В треугольнике ABC, E является серединой основания BC. - Прямая AE делит треугольник ABC на два треугольника ABE и AEC. - Так как BE = EC, площади треугольников ABE и AEC равны. - Следовательно, [ACE] = [AEC] = [ABC] / 2. 3) Площадь треугольника ACF - В треугольнике ACD, F является серединой основания CD. - Прямая AF делит треугольник ACD на два треугольника ACF и AFD. - Так как CF = FD, площади треугольников ACF и AFD равны. - Следовательно, [ACF] = [ACD] / 2. 4) Площадь квадрилера AECF - Площадь AECF равна сумме площадей треугольников ACE и ACF (они не перекрывают друг друга внутри AECF). - Значит: [AECF] = [ACE] + [ACF] = [ABC]/2 + [ACD]/2 = ([ABC] + [ACD]) / 2. 5) Связь с площадью ABCD - Площадь ABCD = площадь ABCD разрезана по диагонали AC на треугольники ABC и ACD, поэтому [ABCD] = [ABC] + [ACD]. - Следовательно, [AECF] = ([ABC] + [ACD]) / 2 = [ABCD] / 2. 6) Численный ответ - Так как площадь ABCD дана как 60, то [AECF] = 60 / 2 = 30. Ответ: 30. Примечание: результат не зависит от конкретной формы выпуклого quadrilateral; достаточно, чтобы E и F были серединами BC и CD соответственно.