Вершины A и C выпуклого четырёхугольника ABCD соединили с серединами противолежащих сторон (рис. 3). Найдите площадь четырёхугольника AECF , если площадь ABCD равна 60 .

Задача: В выпуклом четырехугольнике ABCD вершины A и C соединили с серединами противолежащих сторон. Пусть E — середина BC, F — середина CD. Найдите площадь AECF, если площадь ABCD равна 60.

Пояснение и решение (пошагово):

1. Обозначения и разбор конфигурации

• E — середина стороны BC.
• F — середина стороны CD.
• Четырёхугольник AECF состоит из двух треугольников: ACE и ACF (они имеют общую грань AC).

2. Площадь треугольника ACE

• В треугольнике ABC, E является серединой основания BC.
• Прямая AE делит треугольник ABC на два треугольника ABE и AEC.
• Так как BE = EC, площади треугольников ABE и AEC равны.
• Следовательно, [ACE] = [AEC] = [ABC] / 2.

3. Площадь треугольника ACF

• В треугольнике ACD, F является серединой основания CD.
• Прямая AF делит треугольник ACD на два треугольника ACF и AFD.
• Так как CF = FD, площади треугольников ACF и AFD равны.
• Следовательно, [ACF] = [ACD] / 2.

4. Площадь квадрилера AECF

• Площадь AECF равна сумме площадей треугольников ACE и ACF (они не перекрывают друг друга внутри AECF).
• Значит: [AECF] = [ACE] + [ACF] = [ABC]/2 + [ACD]/2 = ([ABC] + [ACD]) / 2.

5. Связь с площадью ABCD

• Площадь ABCD = площадь ABCD разрезана по диагонали AC на треугольники ABC и ACD, поэтому [ABCD] = [ABC] + [ACD].
• Следовательно, [AECF] = ([ABC] + [ACD]) / 2 = [ABCD] / 2.

6. Численный ответ

• Так как площадь ABCD дана как 60, то [AECF] = 60 / 2 = 30.

Ответ: 30. Примечание: результат не зависит от конкретной формы выпуклого quadrilateral; достаточно, чтобы E и F были серединами BC и CD соответственно.