4sin²x-cos2x=5

Задача: 4 sin²x − cos 2x = 5

Пояснение по шагам (для понимания):

• Используем известную тождество: sin²x = (1 − cos 2x)/2.
• Преобразуем левую часть: 4 sin²x = 4 · (1 − cos 2x)/2 = 2(1 − cos 2x) = 2 − 2 cos 2x.
• Подставляем в уравнение: (2 − 2 cos 2x) − cos 2x = 5 2 − 3 cos 2x = 5
• Решаем относительно cos 2x: −3 cos 2x = 3 → cos 2x = −1.
• Решение для 2x: 2x = π + 2πk, где k ∈ Z. Значит x = π/2 + πk, k ∈ Z.

Ответ:

• Общее решение: x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
• В интервале [0, 2π): x = π/2 и 3π/2.

Проверка (пример:

• Пусть x = π/2: sin²x = 1, cos 2x = cos π = −1 → 4·1 − (−1) = 5, верно.
• Пусть x = 3π/2: sin²x = 1, cos 2x = cos 3π = −1 → 4·1 − (−1) = 5, верно.)

Дополнительный способ решения (для наглядности):

• Можно заменить cos 2x через sin²x: cos 2x = 1 − 2 sin²x.
• Тогда 4 sin²x − (1 − 2 sin²x) = 5 → 6 sin²x − 1 = 5 → sin²x = 1 → sin x = ±1 → x = π/2 + kπ.