в единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K середины ребер AA1 и CD соответственно, а точка М расположена на диагонали B1D1 так, что B1M = 2MD1. найдите расстояние между точками Q и…
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K середины ребер AA1 и CD соответственно, а точка М расположена на диагонали B1D1 так, что B1M = 2MD1. найдите расстояние между точками Q и L, где Q середина отрезка EM, а L - точка отрезка MK такая, что ML=2LK
Задача в координатах для единичного куба (стандартное расположение вершин): A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1).
- Точки E и K
- E — середина AA1: E = (0, 0, 1/2).
- K — середина CD: CD от C(1,1,0) до D(0,1,0); K = (1/2, 1, 0).
Точка M на диагонали B1D1 с условием B1M = 2 MD1 Диагональ B1D1 параметризуем как B1 + t(D1 − B1), t ∈ [0,1]. B1 = (1,0,1), D1 = (0,1,1). D1 − B1 = (−1, 1, 0). Условие B1M = 2 MD1 даёт t = 2/3. Значит, M = B1 + (2/3)(D1 − B1) = (1/3, 2/3, 1).
Точка Q — середина EM Q — середина отрезков E(0,0,1/2) и M(1/3, 2/3, 1): Q = ((0 + 1/3)/2, (0 + 2/3)/2, (1/2 + 1)/2) = (1/6, 1/3, 3/4).
Точка L на MK так, что ML = 2 LK Отрезок MK делится внутренне в отношении ML:LK = 2:1. По формулам раздела: L = (M + 2K)/3.
Подсчёт: M = (1/3, 2/3, 1), K = (1/2, 1, 0) ⇒ 2K = (1, 2, 0). SUMMA: M + 2K = (1/3 + 1, 2/3 + 2, 1 + 0) = (4/3, 8/3, 1). Разделив на 3: L = (4/9, 8/9, 1/3).
- Расстояние между Q и L Разности координат: dx = Qx − Lx = 1/6 − 4/9 = −5/18 dy = Qy − Ly = 1/3 − 8/9 = −5/9 dz = Qz − Lz = 3/4 − 1/3 = 5/12
d^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = (25/324) + (25/81) + (25/144) = 25(1/324 + 1/81 + 1/144) = 25(29/1296) = 725/1296
d = sqrt(725/1296) = sqrt(725)/36 = (5 sqrt(29))/36.
Ответ: расстояние между Q и L равно 5√29 / 36 ≈ 0.747.
