На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?
Дано: P = [257, 1000], Q = [5, 100], R = [99, 258]. Нужно найти наименьшую длину отрезка A such that для всех x выполняется формула:
((x ∉ A) ∨ (x ∈ R)) ∧ ((x ∉ A) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)).
Шаг 1. Перепишем условие тождественности.
Если x ∈ A, тогда обе дизъюнкции должны быть истинны:
- (x ∈ R) должно быть истинно;
- (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) должно быть истинно.
Следовательно, для всякого x ∈ A обязателно выполняется x ∈ R и x ∈ P ∪ Q.
Значит A ⊆ R ∩ (P ∪ Q).
Шаг 2. Найдём R ∩ (P ∪ Q).
Сначала P ∪ Q = [257,1000] ∪ [5,100].
Теперь R ∩ (P ∪ Q) =
- R ∩ [257,1000] = [257, 258],
- R ∩ [5,100] = [99, 100].
Итого R ∩ (P ∪ Q) = [99, 100] ∪ [257, 258].
Шаг 3. Что это значит для A.
Чтобы формула была тождественно истинна для всех x, достаточно, чтобы A было подмножеством S = [99, 100] ∪ [257, 258].
Шаг 4. Наименьшая длина A.
- Любой нерекурсивный (непустой) отрезок, лежащий внутри S, имеет положительную длину, но можно взять degenerate отрезок вида [a, a], то есть длина 0.
- Таким образом, наименьшая возможная длина равна 0, достигается, например, A = [99, 99] или A = [100, 100] (или любую точку внутри [99,100] или [257,258]).
Ответ:
Наименьшая длина отрезка A равна 0 (если допускаются вырожденные отрезки). Пример подходящего A: A = [99, 99]. Если же требуется строго ненуловая длина, тогда минимальная длина не существует (infimum равна 0); можно любыми малыми положительными длинами поместить A внутри [99,100] или [257,258], и формула всё равно будет истинна.
