На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Решение по шагам (цель: понять). 1) Разбираем формулу Формула связана двумя условиями: - (x ∉ A) ∨ (x ∈ R) - (x ∉ A) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) Чтобы она тождественно была истинна для любого x, обе части должны быть истинны для любого x. Соответственно: 2) Условия на A - Первая часть тождественно истинна, если и только если A ⊆ R. Другое толкование: если существует x ∈ A, но x ∉ R, тогда для такого x первая часть ложно. - Вторая часть тождественно истинна, если и только если A ⊆ P ∪ Q. Итак, чтобы формула была истинна для всех x, нужно, чтобы A ⊆ R и A ⊆ (P ∪ Q). 3) Найдем пересечение P = [257, 1000], Q = [5, 100], значит P ∪ Q = [5,100] ∪ [257,1000]. R = [99, 258]. Пересечение R ∩ (P ∪ Q): - с [5,100] получаем [99,100] - с [257,1000] получаем [257,258] Итого A ⊆ [99,100] ∪ [257,258]. 4) Минимальная длина отрезка A A должен быть отрезком, целиком лежащим внутри этого множества. Множество разбито на две части, каждая из которых непрерывна, поэтому допустимы: - A внутри [99,100] или - A внутри [257,258]. Длина отрезка [a,b] равна b − a. Чтобы минимизировать длину, можно взять degenerate отрезок (точку), например A = [99,99] или A = [99.5,99.5] или A = [257,257]. Так как A ⊆ [99,100] ∪ [257,258], такие точки действительно лежат внутри. Следовательно, минимальная возможная длина A равна 0. 5) Пример Можно взять A = [99,99] (длина 0) или любую точку внутри [99,100] или внутри [257,258]. Тогда формула будет истинна для всех x. Примечание на случай, если требуется не degenerate отрезок: если разрешены только ненулевые длины, то можно сделать A очень маленьким внутри допустимой части, но строго положительную минимальную длину найти невозможно — существует только инфимум 0.