На числовой прямой даны три отрезка: P = [257, 1000], Q = [5, 100] и R = [99, 258]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула ((x∈/A)∨(x∈R))∧((x∈/A)∨(x∈P)∨(x∈Q))…

Решение по шагам (цель: понять).

1. Разбираем формулу Формула связана двумя условиями:

• (x ∉ A) ∨ (x ∈ R)
• (x ∉ A) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)

Чтобы она тождественно была истинна для любого x, обе части должны быть истинны для любого x. Соответственно:

2. Условия на A

• Первая часть тождественно истинна, если и только если A ⊆ R. Другое толкование: если существует x ∈ A, но x ∉ R, тогда для такого x первая часть ложно.
• Вторая часть тождественно истинна, если и только если A ⊆ P ∪ Q.

Итак, чтобы формула была истинна для всех x, нужно, чтобы A ⊆ R и A ⊆ (P ∪ Q).

3. Найдем пересечение P = [257, 1000], Q = [5, 100], значит P ∪ Q = [5,100] ∪ [257,1000].

R = [99, 258].

Пересечение R ∩ (P ∪ Q):

• с [5,100] получаем [99,100]
• с [257,1000] получаем [257,258]

Итого A ⊆ [99,100] ∪ [257,258].

4. Минимальная длина отрезка A A должен быть отрезком, целиком лежащим внутри этого множества. Множество разбито на две части, каждая из которых непрерывна, поэтому допустимы:

• A внутри [99,100] или
• A внутри [257,258].

Длина отрезка [a,b] равна b − a. Чтобы минимизировать длину, можно взять degenerate отрезок (точку), например A = [99,99] или A = [99.5,99.5] или A = [257,257]. Так как A ⊆ [99,100] ∪ [257,258], такие точки действительно лежат внутри.

Следовательно, минимальная возможная длина A равна 0.

5. Пример Можно взять A = [99,99] (длина 0) или любую точку внутри [99,100] или внутри [257,258]. Тогда формула будет истинна для всех x.

Примечание на случай, если требуется не degenerate отрезок: если разрешены только ненулевые длины, то можно сделать A очень маленьким внутри допустимой части, но строго положительную минимальную длину найти невозможно — существует только инфимум 0.