. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BM. На ней взята точка O. Докажите равенство треугольников ABO и CBO.
Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BM. На ней взята точка O. Докажите равенство треугольников ABO и CBO.
Пояснение и решение по шагам
Из условия треугольник ABC равнобедрен относительно отрезка AB и BC, значит AB = BC. Медиана BM к основанию AC идёт от вершины B к середине основания M и в равнобедренном треугольнике BM является осью симметрии трапеции: отражение через BM переводит A в C, AB в BC, и BO в себя (O лежит на BM).
Из симметрии через BM следует, что угол ABO равен углу OBC, потому что они зеркально соответствуют друг другу: ∠ABO = ∠OBC. Это ключевой факт: BO лежит на оси симметрии, а AB и BC — зеркальные копии друг друга.
Общая сторона OB присутствует в обоих треугольниках ABO и CBO.
По признаку SAS (две стороны и включённый угол): AB = BC (из пункта 1), OB = OB (общая сторона), и ∠ABO = ∠OBC (из пункта 2).Следовательно, треугольники ABO и CBO равны.
Следствие:
- AO = OC (соответствующие стороны после равенства треугольников).
- ∠AOB = ∠COB и другие соответствующие углы тоже равны.
Дополнительное замечание: так как O лежит на оси симметрии BM, любая точка O на BM удовлетворяет AO = OC — это следует из того же факта, что BM — медиана и ось симметрии основания AC.
