Выберите верный или верные ответы. Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD…

Вот подробное решение задачи и указание теоретических основ, на которых оно базируется.

Задача: в выпуклом четырехугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 6, BC = CD = 10, AD = 16, AC = 14. Доказать, что около этого четырехугольника можно описать окружность (то есть ABCD является циклическим).

Пошаговое решение

1. Рассмотрим треугольник ABC с вершинами A, B, C и сторонами AB = 6, BC = 10, AC = 14.

   • Применяем теорему косинусов к треугольнику ABC, чтобы найти угол B (угол ABC): AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2·AB·BC·cos(B) 14^2 = 6^2 + 10^2 - 2·6·10·cos(B) 196 = 36 + 100 - 120·cos(B) 196 = 136 - 120·cos(B) 60 = -120·cos(B) cos(B) = -1/2
   • Значит, угол B = 120°.

2. Рассмотрим треугольник ADC с вершинами A, D, C и сторонами AD = 16, DC = 10, AC = 14.

   • Применяем теорему косинусов к треугольнику ADC, чтобы найти угол D (угол ADC): AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2·AD·DC·cos(D) 14^2 = 16^2 + 10^2 - 2·16·10·cos(D) 196 = 256 + 100 - 320·cos(D) 196 = 356 - 320·cos(D) -160 = -320·cos(D) cos(D) = 1/2
   • Значит, угол D = 60°.

3. Сумма противоположных углов в четырехугольнике ABCD: B + D = 120° + 60° = 180°.

4. Прямой вывод: если сумма противоположных углов квадрата равна 180°, то этот четырехугольник является циклическим, то есть по нему можно описать окружность.

Итог: вокруг квадрилата ABCD действительно можно описать окружность.

Чем это обосновано теоретически (суть используемых фактов)

• Теорема косинусов (Law of Cosines): позволяет по известным сторонам треугольника найти угол (или по двум сторонам и углу — косинус угла).
• Свойство циклических четырехугольников: четырехугольник является циклическим тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. В нашем решении мы получили B = 120° и D = 60°, их сумма равна 180°, следовательно, ABCD цилиндрически/окружность существует.

Ответ на перечисленные варианты теоретических основ

• Теорема косинусов — верно и полезно для решения.
• Свойство равнобедренного треугольника — не используется здесь.
• Формулы приведения — не требуются в данном решении.
• Табличные значения косинуса острого угла в 30 градусов — не нужны для вычислений в приведённом способе (можно было бы использовать общие значения косинусов, но конкретно таблицы угла 30° здесь не задействованы).
• Признаки равенства треугольников — не применяются напрямую в данном доказательстве.

Итого: основной применимый факт из списка — Теорема косинусов. Дополнительно используется общая теорема о сумме противоположных углов для цикличности квадрилата.