Выберите верный или верные ответы. Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6, BC=CD=10, AD=16, АC=14. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность». Свойство равнобедренного треугольника Теорема косинусов Формулы приведения Табличные значения косинуса острого угла в 30 градусов Признаки равенства треугольников

Задача: по данным сторонам четырехугольника ABCD и диагонали AC доказать, что около него можно описать окружность (то есть он цикличный). Решение (пошагово): 1) Найдем угол ∠ABC в треугольнике ABC, где стороны AB=6, BC=10, AC=14. - По теореме косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2·AB·BC·cos∠ABC. - Подставляем: 14^2 = 6^2 + 10^2 - 2·6·10·cos∠ABC. - 196 = 36 + 100 - 120·cos∠ABC → 196 = 136 - 120·cos∠ABC. - -120·cos∠ABC = 60 → cos∠ABC = -1/2. - Значит, ∠ABC = arccos(-1/2) = 120°. 2) Найдем угол ∠ADC в треугольнике ADC, где стороны AD=16, DC=10, AC=14. - По теореме косинусов: AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2·AD·DC·cos∠ADC. - Подставляем: 14^2 = 16^2 + 10^2 - 2·16·10·cos∠ADC. - 196 = 256 + 100 - 320·cos∠ADC. - -320·cos∠ADC = 196 - 356 = -160 → cos∠ADC = 160/320 = 1/2. - Значит, ∠ADC = arccos(1/2) = 60°. 3) Проверим условие цикличности: сумма противоположных углов при вершинах B и D равна 180°? - ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°. Так как сумма противоположных углов равна 180°, четырехугольник ABCD может быть описан вокруг окружности. Следовательно, существует окружность, которая проходит через точки A, B, C и D. Ответ: да, около данного четырехугольника можно описать окружность. Теоретические факты, на которые опираются учащиеся: - Теорема косинусов — для нахождения углов в треугольниках по сторонам. - Свойство цикличности четырёхугольника: если сумма противоположных углов равна 180°, то все четыре точки лежат на одной окружности (и наоборот). Из предложенного списка для этой задачи особенно применима: - Теорема косинусов. Прочие пункты в списке не используются напрямую в данной цепочке рассуждений (например, свойство равнобедренного треугольника, формулы приведения, таблица косинусов 30°, признаки равенства треугольников) для этого решения не нужны.