Задача: ширина реки W = 189 м, скорость течения v_r = 1.2 м/с, скорость пловца относительно воды v_s = 1.5 м/с. Требуется пересечь реку перпендикулярно берегу (то есть путь по прямой, перпендикулярной береговой линии).
Шаг 1. Условие перпендикулярности движения
Чтобы путь был перпендикулярным берегу, результирующая скорость пловца относительно земли должна иметь нулевую составляющую вдоль реки (downstream). Пусть ось x — поперёк реки (перпендикулярно берегу), ось y — вдоль течения (downstream).
Течение даёт скорость v_r вдоль оси y. Скорость пловца относительно воды v_s можно разложить на компоненты:
- вдоль оси x (поперёк): v_sx
- вдоль оси y (вдоль течения): v_sy
Чтобы результирующая скорость вдоль реки была нулевой, нужно, чтобы v_sy + v_r = 0. То есть v_sy = -v_r = -1.2 м/с.
Шаг 2. Найти поперечную скорость пловца относительно воды
Силами скорости относительно воды ветвь скорости удовлетворяет: v_s^2 = v_sx^2 + v_sy^2.
Из известных v_s = 1.5 м/с и v_sy = -1.2 м/с:
v_sx^2 = v_s^2 - v_sy^2 = 1.5^2 - 1.2^2 = 2.25 - 1.44 = 0.81
V_sx = sqrt(0.81) = 0.9 м/с.
Шаг 3. Скорость пересечения по поперёку
Компонента скорости пловца относительно земли вдоль оси x равна v_sx = 0.9 м/с (течение не даёт поперечной составляющей).
Шаг 4. Время пересечения
Время t = W / v_sx = 189 м / 0.9 м/с = 210 с.
Ответ: время пересечения равно 210 секунд, то есть 3 минуты 30 секунд.
Дополнительная заметка:
- Чтобы пересечь прямо по прямой, перпендикулярной берегу, пловцу нужно держать курс таким образом, чтобы его скорость вдоль течения компенсировала течение: sin(ф) = v_r / v_s = 1.2 / 1.5 = 0.8, угол φ примерно 53.1° против течения. Тогда поперечная скорость составляет 0.9 м/с и время равно 210 с.
- Если допускать, что путь не обязателен быть строго перпендикулярным (то есть просто доплыть до противоположного берега любым путем), время было бы W / (компонента поперёк воды) = 189 / 1.5 = 126 с, но в условиях задачи указано именно перпендикулярное направление, поэтому 210 с.
