Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 3.

Ответ: AC = 6.

Краткое решение (координатный подход):

• Пусть AB = 3. Разместим A в начале координат, B на оси x: B = (3, 0). Пусть ∠BAC = 2α, тогда луч AC направлен под углом 2α к оси x, и C = (b cos 2α, b sin 2α), где b = AC.
• Медиана BM к стороне AC имеет точку M как середину AC: M = (b/2 cos 2α, b/2 sin 2α).
• Прямая AD — бисектриса угла A, поэтому направление AD образует угол α с осью x: её направляющий вектор d = (cos α, sin α).
• AD перпендикулярна BM, значит d ⟂ (M − B). Следовательно: cos α (b/2 cos 2α − 3) + sin α (b/2 sin 2α) = 0.
• Используем тождество cos α cos 2α + sin α sin 2α = cos(α − 2α) = cos α. Тогда уравнение принимает вид: (b/2) cos α − 3 cos α = 0 ⇒ cos α (b/2 − 3) = 0.
• Так как α не равен 90°, cos α ≠ 0, значит b/2 − 3 = 0 и b = 6.

Итак, AC = 6.