Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

Задача: окружность с центром O и радиусом r = 4,5 см; точка A на расстоянии OA = 9 см от центра; две касательные AT1 и AT2 проведены из A к окружности (точки касания T1 и T2). Найти угол между ними ∠T1AT2.

Расчёт пошагово:

• Так как AT1 – касательная к окружности в точке T1, радиус OT1 перпендикулярен касательной: OT1 ⟂ AT1. Значит треугольник AOT1 является прямоугольным в точке T1. Гипотенуза этого треугольника – OA = 9 см, катеты – OT1 = r = 4,5 см и AT1 (длина касательной).

• По теореме Пифагора для треугольника AOT1 имеем: OA^2 = OT1^2 + AT1^2 9^2 = 4,5^2 + AT1^2 AT1^2 = 81 - 20,25 = 60,75 AT1 = sqrt(60,75) = (9√3)/2 ≈ 7,794 см (необязательно для дальнейшего вывода, но можно привести).

• Рассмотрим угол ∠OAT1 в треугольнике AOT1. Направление OA образует с AT1 угол, а напротив данного угла лежит сторона OT1 длиной 4,5 см, которая является противолежащей стороной к углу ∠OAT1. В прямоугольном треугольнике синус угла при вершине A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin(∠OAT1) = OT1 / OA = 4,5 / 9 = 1/2, значит ∠OAT1 = 30°.

• Два касательных AT1 и AT2 симметричны относительно OA, поэтому угол между OA и каждой касательной равен 30°. Следовательно, угол между самими касательными равен сумме этих двух углов: ∠T1AT2 = ∠OAT1 + ∠OAT2 = 30° + 30° = 60°.

Дополнительно можно отметить: центральный угол T1OT2 равен 180° - ∠T1AT2 = 120° (это следует из того, что угол между двумя касательными и центральный угол, заключённый между точками касания, образуют фактически последовательность связанных углов).

Ответ: 60°.