В треугольнике ABC угол C 90 градусов , а его высота СH и биссектриса BL пересекаются в точке M , причём M середина отрезка BL . Найти AB, если BC 21

Решение через координаты.

1. Зададим координаты:

• C = (0, 0), угол C = 90°.
• По оси OC возьмём BC = 21, тогда B = (0, 21).
• Пусть A = (a, 0) с a > 0. Тогда AB — гипотенуза треугольника, и AB^2 = a^2 + 21^2 = a^2 + 441.

2. Уравнение CH и условие пересечения:

• Высота CH проводится из C к AB и перпендикулярна AB. Наклон AB равен (21 − 0)/(0 − a) = −21/a, значит CH — линия с углом наклона a/21. Через C CH имеет вид y = (a/21)x.
• Пусть точка L на AC имеет координаты L(t, 0) (0 ≤ t ≤ a). Тогда середина отрезка BL имеет координаты M = ((0 + t)/2, (21 + 0)/2) = (t/2, 10.5).
• По условию M лежит на CH, значит выполняется 10.5 = (a/21)·(t/2). Отсюда a t = 441. (1)

3. Угол Bisector theorem для BL: BL — биссектор угла B, значит AL/LC = AB/BC.

• LC = t, AL = |a − t|, BC = 21.
• Так как AL и LC лежат на AC, берем AL = a − t. Тогда (a − t)/t = AB/21.
• AB = sqrt(a^2 + 441). Отсюда t = 21a / (21 + sqrt(a^2 + 441)). (2)

4. Совмещение (1) и (2): a · t = a · [21a / (21 + sqrt(a^2 + 441))] = 441. Получаем 21a^2 = 441[21 + sqrt(a^2 + 441)]. После деления на 21: a^2 = 21[21 + sqrt(a^2 + 441)].

Пусть s = sqrt(a^2 + 441). Тогда a^2 = s^2 − 441. Подставим: s^2 − 441 = 21(21 + s) → s^2 − 21s − 882 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем s = 42 (положительное решение; другое −21 отвергаем).

Значит AB = sqrt(a^2 + 441) = s = 42.

Ответ: AB = 42.