В треугольнике АБЦ медианы АК и БМ пересекаются в точке о найдите площадь треугольника АБЦ если площадь треугольника АМО равна четырём

Ответ: 24

Пошаговое решение и объяснение

1. В треугольнике ABC AK и BM — медианы, их пересечение даёт точку O, которая является центроидом треугольника. Три медианы CK, AK, BM делят треугольник на 6 маленьких треугольников, все они имеют одинаковую площадь. Это стандартное свойство центроида: медианы разбивают треугольник на 6 равных по площади частей.

2. Треугольник AMO является одним из этих шести равных треугольников, потому что его вершины A, M (середина AC) и O (центр масс) образуют одну из маленьких частей, образованных пересечением медиан AK и BM.

3. Следовательно, площадь треугольника ABC равна сумме площадей шести равных частей, то есть площадь(ABC) = 6 × площадь(AMO).

4. дано, что площадь AMO = 4. Тогда площадь(ABC) = 6 × 4 = 24.

Дополнительное замечание (для понимания: можно проверить координатно)

• Можно ввести координаты: A(0,0), C(2,0) так, что M(1,0). Пусть B(x,y). Точка O — центр масс: O((x+2)/3, y/3). Площадь AMO равна половине абсолютной величины детерминанта векторов AM и AO, что даёт площадь AMO = |y|/6. При площади AMO = 4 получаем |y| = 24. Тогда площадь ABC = |y| = 24. Это совпадает с выводом по разбиению на 6 равных частей.