Y”tg y=2(y’)²

Задача: y'' tan y = 2 (y')^2, где y = y(x). Цель: понять и получить общую форму решения разлагая вторый порядок. Пошаговое решение 1) Обозначим p = y'. Тогда y'' = dp/dx. По цепному правилу dp/dx = (dp/dy) · (dy/dx) = p · (dp/dy). Подставим в уравнение: (p · dp/dy) · tan y = 2 p^2. 2) Разделим на p (предполагаем, что p ≠ 0; особый случай рассмотри позже): (dp/dy) · tan y = 2 p or dp/dy = 2 p · cot y. 3) Это метод линейного уравнения для p(y). Разделим переменные: (1/p) dp = 2 cot y dy. Интегрируем: ∫ (1/p) dp = ∫ 2 cot y dy => ln|p| = 2 ∫ cot y dy = 2 ln|sin y| + C => p = y' = C1 · sin^2 y, где C1 — произвольная константа. 4) Теперь решаем полученное обычное дифференциальное уравнение: dy/dx = C1 · sin^2 y. При C1 = 0 получаем pralnoe решение y ≡ const (поскольку y' = 0 и y'' = 0, уравнение выполняется). Для C1 ≠ 0 разделяем переменные: dx = dy / (C1 sin^2 y) = (1/C1) · csc^2 y dy. Интегрируем справа слева: ∫ dx = (1/C1) ∫ csc^2 y dy => x + C2 = (1/C1) · (−cot y) = −(1/C1) cot y. Перепишем: cot y = −C1 (x − C2) = A x + B, где A = −C1 и B = C1 C2 — произвольные константы. В сумме получаем две произвольные константы, как и должно для второго порядка. 5) Итоги решения - Общее нештатное решение (при C1 ≠ 0) задаётся неявно: cot y = A x + B. - Эксплицитно можно записать: y(x) = arccot(A x + B). - Включён и случай постоянного решения: если A = 0, то cot y = B, значит y ≡ arccot(B) — константа. Такой случай тоже покрывается общим формальным видом cot y = A x + B. Замечания по области определения - В исходном уровне уравнение содержит tan y. Поэтому решение действительно должно быть определено на участках, где cos y ≠ 0 (то есть tan y и cot y определены). В частности, не допускаются точки, где y(x) = π/2 + kπ. - Решение в виде y(x) = arccot(Ax + B) пригодно на интервалах, где Ax + B не приводит к проблемам с cos y. Ответ - Общая форма: cot y = A x + B, где A и B — произвольные константы. - Эквивалентно: y(x) = arccot(A x + B). - Включены и постоянные решения y ≡ const (это случай A = 0). Условие: на каждом промежутке, где cos y ≠ 0.