В параллелограмме ABCD точки M и N лежат на сторонах BC и CD, причём BM:MC = 3:1, CN:ND = 1:2, A B → = a ⃗ AB = a , A D → = b ⃗ AD = b . а) Выразите векторы B N → BN и M N → MN через векторы a и b. б) Докажите, что векторы M N → MN и 1 2 A D → − 2 3 A B → 2 1 ​ AD − 3 2 ​ AB коллинеарны.

Решение по шагам. Дано: параллелограмм ABCD, AB = a, AD = b (то есть вектор AB = a, вектор AD = b). 1) Расположение точек - Пусть A соответствует начала координат. Тогда: - B = A + AB = a - D = A + AD = b - C = B + AD = a + b - М лежит на BC и BM:MC = 3:1. - Вектор BC = C − B = (a + b) − a = b. - BM = (3/4)BC, следовательно M = B + (3/4)BC = a + (3/4)b. - N лежит на CD и CN:ND = 1:2. - Вектор CD = D − C = b − (a + b) = −a. - CN = (1/3)CD, следовательно N = C + (1/3)CD = (a + b) − (1/3)a = (2/3)a + b. 2) Векторы BN и MN через a и b - BN = N − B = [(2/3)a + b] − a = −(1/3)a + b. = b − (1/3)a. - MN = N − M = [(2/3)a + b] − [a + (3/4)b] = −(1/3)a + (1/4)b. = (1/4)b − (1/3)a. Ответ части а): - BN = b − (1/3) a - MN = (1/4) b − (1/3) a 3) Коллинеарность MN и (1/2)AD − (2/3)AB Определим вектор V = (1/2)AD − (2/3)AB = (1/2)b − (2/3)a. Умножим V на 1/2: (1/2) V = (1/4) b − (1/3) a. Это точно совпадает с MN. Следовательно, MN = (1/2) [(1/2)AD − (2/3)AB], то есть MN коллинеарен вектору (1/2)AD − (2/3)AB. Ответ части б): MN коллинеарен (1/2)AD − (2/3)AB (или равен половине этого вектора), как и требуется. Кратко: BN = b − (1/3)a, MN = (1/4)b − (1/3)a; MN = (1/2)[(1/2)AD − (2/3)AB], значит коллинеарны.