В параллелограмме ABCD точки M и N лежат на сторонах BC и CD, причём BM:MC = 3:1, CN:ND = 1:2, A B → = a ⃗ AB = a , A D → = b ⃗ AD = b . а) Выразите векторы B N → BN и M N → MN…

Решение по шагам.

Дано: параллелограмм ABCD, AB = a, AD = b (то есть вектор AB = a, вектор AD = b).

1. Расположение точек

• Пусть A соответствует начала координат. Тогда:
  • B = A + AB = a
  • D = A + AD = b
  • C = B + AD = a + b
• М лежит на BC и BM:MC = 3:1.
  • Вектор BC = C − B = (a + b) − a = b.
  • BM = (3/4)BC, следовательно M = B + (3/4)BC = a + (3/4)b.
• N лежит на CD и CN:ND = 1:2.
  • Вектор CD = D − C = b − (a + b) = −a.
  • CN = (1/3)CD, следовательно N = C + (1/3)CD = (a + b) − (1/3)a = (2/3)a + b.

2. Векторы BN и MN через a и b

• BN = N − B = [(2/3)a + b] − a = −(1/3)a + b. = b − (1/3)a.
• MN = N − M = [(2/3)a + b] − [a + (3/4)b] = −(1/3)a + (1/4)b. = (1/4)b − (1/3)a.

Ответ части а):

• BN = b − (1/3) a
• MN = (1/4) b − (1/3) a

3. Коллинеарность MN и (1/2)AD − (2/3)AB Определим вектор V = (1/2)AD − (2/3)AB = (1/2)b − (2/3)a. Умножим V на 1/2: (1/2) V = (1/4) b − (1/3) a. Это точно совпадает с MN.

Следовательно, MN = (1/2) [(1/2)AD − (2/3)AB], то есть MN коллинеарен вектору (1/2)AD − (2/3)AB.

Ответ части б): MN коллинеарен (1/2)AD − (2/3)AB (или равен половине этого вектора), как и требуется.

Кратко: BN = b − (1/3)a, MN = (1/4)b − (1/3)a; MN = (1/2)[(1/2)AD − (2/3)AB], значит коллинеарны.