Ильяс посчитал на калькуляторе, что первая цифра 2 999 равна 5, а первую цифру числа 5 999 посчитать не смог. Найдите эту цифру.

Думаем, что записано как 2^999 и 5^999 (верхний индекс — ступень). Условие говорит: первая цифра числа 2^999 равна 5.

1. Пусть 2^999 ∈ [5·10^k, 6·10^k) для некоторого целого k (то есть первая цифра 5).

2. Тогда 5^999 = 10^999 / 2^999 ∈ [ 10^999 / (6·10^k), 10^999 / (5·10^k) ) = [ (1/6)·10^{999 - k}, (1/5)·10^{999 - k} ).

3. Обозначим t = 999 - k. Тогда интервал становится [ (1/6)·10^t, (1/5)·10^t ) = [ 1.666...·10^{t-1}, 2·10^{t-1} ).

4. Любое число в таком интервале имеет первую цифру 1 (интервал лежит между 1.666...·10^{t-1} и 2·10^{t-1}, причем верхняя граница 2·10^{t-1} не включается).

Следовательно, первая цифра числа 5^999 равна 1.

Дополнительно можно увидеть через логи: пусть f — дробная часть 999·log10(2). Так как первая цифра 2^999 равна 5, то 10^f ∈ [5,6). Тогда для 5^999 логарифм равен 999·log10(5) = 999·(1 − log10(2)) и дробная часть равна 1 − f (модульно). Значит ведущая цифра 5^999 равна floor(10^{1−f}), где 1−f ∈ (log10 2, log10 2 + 1) и 10^{1−f} ∈ (1.666..., 2), то есть снова первая цифра 1.

Ответ: 1.