Задачи на применение первообразной и интеграла №1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением v(t) = 15 + 0,2t . Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд. №2 Поезд движется прямолинейно со скоростью V = 6t-t2(м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки. №3 Скорость движения тела изменяется по закону v(t) = 21 м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения. №4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону v(t) = (29,4 - 9,8t)м/с. Найти наибольшую высоту подъема. №5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно - со скоростью v1 = 5t м/с, другое - со скоростью v2 = 312 м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении? №6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями v1 = (6t2 + 4t) м/с и v2 = 41 м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м? №7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону a = 312 - 4t +2. В момент времени to = 1c электровоз имел скорость Vo= 0,05м/с. Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3c. №8 Скорость электровоза, движется прямолинейно изменяется по закону V(t) = 4t3 - 6t + 3 (м/с). Какая скорость была у электровоза в момент времени t = 2с. Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2c. Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.

1. Для задачи №1 нам дано уравнение для скорости поезда: \( v(t) = 15 + 0,2t \). Чтобы найти длину уклона, нужно найти путь, который прошел поезд за 15 секунд. Для этого надо взять первообразную от уравнения скорости \( v(t) \), которая является функцией пути \( s(t) \), и затем вычислить разницу значений пути в начальный и конечный момент времени. Таким образом, длина уклона будет равна разности значений пути в моменты времени 0 и 15 секунд. 2. В задаче №2 скорость поезда задана уравнением \( V = 6t - t^2 \) м/с. Чтобы найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки, нужно взять первообразную от уравнения скорости. После нахождения функции пути \( s(t) \) нужно подставить значения времени начала и конца движения, чтобы получить длину пути. 3. В задаче №3 скорость движения тела постоянна и равна \( v(t) = 21 \) м/с. Для нахождения длины пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения, нужно умножить данную скорость \( 21 \) м/с на время движения, в данном случае 3 секунды. 4. Для задачи №4 скорость тела, брошенного вертикально вверх, задана уравнением \( v(t) = (29,4 - 9,8t) \) м/с. Чтобы найти наибольшую высоту подъема, необходимо найти точку, где скорость будет равна 0, так как в этот момент тело достигнет максимальной высоты. 5. В задаче №5 два тела движутся с разными скоростями, \( v1 = 5t \) м/с и \( v2 = 312 \) м/с, и нужно найти расстояние между ними через 20 секунд. Для этого нужно найти функции пути для каждого тела, а затем найти значения пути через 20 секунд и вычислить их разницу. 6. В задаче №6 два тела движутся с разными скоростями, \( v1 = (6t^2 + 4t) \) м/с и \( v2 = 41 \) м/с. Чтобы найти время, через которое расстояние между ними будет равно 250 м, нужно провести вычисления, используя функции пути для каждого тела. 7. Для задачи №7 дано уравнение ускорения электровоза \( a = 312 - 4t + 2 \) и его начальная скорость \( Vo = 0,05 \) м/с. Необходимо найти скорость электровоза в момент времени \( t = 3 \) секунды, используя уравнение для ускорения и начальную скорость. 8. В задаче №8 скорость электровоза задана уравнением \( V(t) = 4t^3 - 6t + 3 \) м/с. Чтобы найти скорость электровоза в момент времени \( t = 2 \) секунды, нужно подставить данное значение времени в уравнение скорости. Для нахождения ускорения в момент времени \( t = 2 \) секунды, нужно взять производную скорости по времени. Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения, можно найти, взяв первообразную от уравнения скорости и подставив временные границы движения.