Тест на тему Простые числа

Ниже представлен тест по вероятности для учащихся 11 класса с открытыми вопросами. В конце приведены ответы и краткие решения.

Название: Диагностическая работа по вероятности Предмет: Вероятность Уровень: 11 класс Тип вопросов: Открытые вопросы Количество вопросов: 15 Выводить тест с ответами: Да

Инструкция к выполнению:

• Ответы записывайте прямо в поля под каждым вопросом.
• В некоторых задачах даны явные формулы; приводите аргументацию и вычисления по шагам.
• В раздел ответов приводите как минимум итоговое значение и ключевые шаги расчёта.

Вопросы теста

1. В урне 3 красных шарика и 2 белых. Вытащим один шар без возврата. Найдите вероятность того, что шар окажется красным.

2. В урне 3 красных, 2 синих и 5 зелёных шаров. Два шарика вынимаются без возврата. Найдите вероятность того, что оба вынутых шарика будут красными.

3. Есть две урны A и B. В урне A: 2 белых, 3 чёрных; в урне B: 3 белых, 2 чёрных. С вероятностью 1/2 выбирают одну из урн, затем вытаскивают один шар. Найдите вероятность, что шар будет белым.

4. В популяции болезнь встречается с частотой 1% (P(B) = 0.01). Тест на болезнь имеет чувствительность 90% и специфичность 95%. Какова вероятность того, что человек действительно болен, если тест положителен? (P(B|+). Дайте точное значение в виде дроби или десятичной)

5. При подбрасывании монеты два раза найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орёл.

6. Пусть P(A) = 0.4 и P(B) = 0.3, и события A и B несовместны. Найдите P(A ∪ B).

7. На стандартном шестигранном кубике найдите вероятность того, что выпавшее число больше 4.

8. В лотерее: из 100 билетов 5 — выигрышные. Вы купили 2 билета без возврата. Найдите вероятность того, что оба ваших билета окажутся выигрышными.

9. В стандартной колоде из 52 карт две карты вытаскивают без возврата. Найдите вероятность того, что обе карты окажутся пиками.

10. В той же колоде из 52 карт две карты вытаскивают без возврата. Найдите вероятность, что вторая карта окажется червой (независимо от первой карты).

11. Пусть A — выпадение нечетного числа на кубике, B — выпадение числа больше 3. Найдите P(A), P(B) и P(A ∩ B). Затем скажите, являются ли события A и B независимыми?

12. Дискретная случайная величина X — число, выпавшее на одном шестигранном кубике. Найдите математическое ожидание E[X].

13. Для того же кубика найдите дисперсию Var(X).

14. Пусть Y ~ Binomial(n = 5, p = 0.2). Найдите вероятность P(Y = 2).

15. Объясните разницу между экспериментальной (эмпирической) вероятностью и теоретической вероятностью. Приведите пример, чтобы проиллюстрировать различие.

Ответы и решения

1. P = 3/5 = 0.6. Обоснование: вероятность выбрать красный шар из 5 шаров.

2. P(оба красные) = C(3,2) / C(10,2) = 3 / 45 = 1/15 ≈ 0.0667. Обоснование: сочетания без возвращения.

3. P(белый) = 1/2 · (2/5) + 1/2 · (3/5) = (2/5 + 3/5)/2 = 1/2 = 0.5.

4. P(B|+) = [P(B)·P(+|B)] / [P(B)·P(+|B) + P(not B)·P(+|not B)] = [0.01·0.9] / [0.01·0.9 + 0.99·0.05] = 0.009 / (0.009 + 0.0495) = 0.009 / 0.0585 = 2/13 ≈ 0.1538.

5. P(хотя бы один орёл) = 1 − P(нет орлов) = 1 − (1/2)^2 = 1 − 1/4 = 3/4 = 0.75.

6. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Так как A и B несовместны, P(A ∩ B) = 0. Тогда P(A ∪ B) = 0.4 + 0.3 = 0.7.

7. P(число > 4) = P(5 или 6) = 2/6 = 1/3 ≈ 0.3333.

8. P(оба выигрыша) = (5/100) · (4/99) = 20/9900 = 1/495 ≈ 0.00202.

9. P(оба пики) = C(13,2) / C(52,2) = 78 / 1326 = 1/17 ≈ 0.0588.

10. P(вторая карта — сердце) = 1/4 (по симметрии или через закон итогов: P(вторая = сердце) = (13/52) = 1/4).

11. P(A) = 1/2, P(B) = 1/2, P(A ∩ B) = P(нечетное и > 3) = {5} → 1/6. P(A)P(B) = 1/4 ≠ 1/6, следовательно A и B не независимы.

12. E[X] для кубика = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5.

13. Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2. E[X^2] = (1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)/6 = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6. Var(X) = 91/6 − (3.5)^2 = 91/6 − 12.25 = 91/6 − 49/4 = (182 − 147)/12 = 35/12 ≈ 2.9167.

14. P(Y = 2) = C(5,2) (0.2)^2 (0.8)^3 = 10 · 0.04 · 0.512 = 0.2048 = 640/3125.

15. Теоретическая вероятность рассчитывается по известной модели события, например по формулам и моделям, и не требует повторяемого наблюдения. Экспериментальная вероятность определяется на основе реальных наблюдений (частота наступления события в серии экспериментов). Пример: подбрасывание монеты 1000 раз, из которых 540 раз выпал орёл → экспериментальная вероятность P*(орёл) ≈ 0.54; теоретическая вероятность P(орёл) = 1/2 = 0.5. Разница может объясняться редкими колебаниями, несовершенной моделью, ограниченным числом экспериментов и т. п.

Если нужно, могу адаптировать уровень сложности вопросов под конкретную программу вашего курса или добавить пояснения к каждому решению.

Тест по геометрии для 9 класса

Тема: Расстояние отрезка, координата середины отрезка

Вариант 1

1. Вопрос 1: Найдите длину отрезка, соединяющего точки A(2, 3) и B(5, 7).
   Ответ: ( d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 )

2. Вопрос 2: Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-1, 2) и B(3, 6).
   Ответ: ( M = \left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = \left(1, 4\right) )

3. Вопрос 3: Рассчитайте длину отрезка, соединяющего точки C(-4, -1) и D(1, 2).
   Ответ: ( d = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} )

4. Вопрос 4: Найдите координаты середины отрезка CD, если C(0, 0) и D(6, -8).
   Ответ: ( M = \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + (-8)}{2}\right) = \left(3, -4\right) )

5. Вопрос 5: Определите длину отрезка, соединяющего точки E(7, 1) и F(4, -3).
   Ответ: ( d = \sqrt{(4 - 7)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 )

6. Вопрос 6: Найдите координаты середины отрезка EF, если E(2, -5) и F(-6, 1).
   Ответ: ( M = \left(\frac{2 + (-6)}{2}, \frac{-5 + 1}{2}\right) = \left(-2, -2\right) )

---

Вариант 2

1. Вопрос 1: Найдите длину отрезка, соединяющего точки A(3, 4) и B(7, 1).
   Ответ: ( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 )

2. Вопрос 2: Найдите координаты середины отрезка AB, если A(1, -2) и B(5, 6).
   Ответ: ( M = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{-2 + 6}{2}\right) = \left(3, 2\right) )

3. Вопрос 3: Рассчитайте длину отрезка, соединяющего точки C(-2, 4) и D(4, -2).
   Ответ: ( d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} )

4. Вопрос 4: Найдите координаты середины отрезка CD, если C(3, 3) и D(9, -1).
   Ответ: ( M = \left(\frac{3 + 9}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = \left(6, 1\right) )

5. Вопрос 5: Определите длину отрезка, соединяющего точки E(-1, 1) и F(2, 4).
   Ответ: ( d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} )

6. Вопрос 6: Найдите координаты середины отрезка EF, если E(0, 0) и F(10, 10).
   Ответ: ( M = \left(\frac{0 + 10}{2}, \frac{0 + 10}{2}\right) = \left(5, 5\right) )

---

Этот тест поможет школьникам закрепить знание формул для нахождения расстояния между точками и координат середины отрезка.

Тест по информатике на тему "Файлы и папки" для 6 класса

Инструкции: Выберите один правильный ответ для каждого вопроса.

1. Что такое файл? a) Программа для работы с данными
b) Устройство для хранения данных
c) Набор данных, имеющий имя и расширение
d) Папка для хранения других файлов

Ответ: c) Набор данных, имеющий имя и расширение

---

2. Какое расширение обычно имеют текстовые файлы? a) .jpg
b) .txt
c) .exe
d) .doc

Ответ: b) .txt

---

3. Что такое папка? a) Файл с программой
b) Система хранения файлов
c) Специальный файл
d) Устройство для вывода данных

Ответ: b) Система хранения файлов

---

4. Какое из перечисленных расширений является изображением? a) .mp3
b) .png
c) .pdf
d) .zip

Ответ: b) .png

---

5. Какой символ используется для обозначения разделения папок в пути к файлу в Windows? a) /
b) \
c) :
d) .

Ответ: b) \

---

6. Что происходит, если удалить файл из папки? a) Файл остается в папке
b) Файл перемещается в корзину
c) Файл становится недоступным для использования
d) Файл исчезает навсегда

Ответ: b) Файл перемещается в корзину

---

7. Какой из следующих типов файлов является архивом? a) .zip
b) .html
c) .ppt
d) .xls

Ответ: a) .zip

---

8. Какой из этих файлов можно открыть текстовым редактором? a) .docx
b) .mp4
c) .exe
d) .jpg

Ответ: a) .docx

---

9. Что такое "корзина" в операционной системе? a) Место для загрузки файлов
b) Хранилище для временных файлов
c) Место, куда перемещаются удаленные файлы
d) Устройство для копирования файлов

Ответ: c) Место, куда перемещаются удаленные файлы

---

10. Какой из перечисленных вариантов не является папкой? a) Мои документы
b) Программные файлы
c) music.mp3
d) Загрузки

Ответ: c) music.mp3

---

11. Как можно создать новую папку в Windows? a) Нажать правую кнопку мыши и выбрать «Создать папку»
b) Нажать Alt + F4
c) Перетащить мышью
d) Ничего, папки создаются автоматически

Ответ: a) Нажать правую кнопку мыши и выбрать «Создать папку»

---

12. Что означает копирование файла? a) Перемещение файла в другое место
b) Создание новой копии файла в другом месте
c) Удаление оригинала файла
d) Изменение содержимого файла

Ответ: b) Создание новой копии файла в другом месте

---

13. Какое действие делает команда "Удалить" с файлом? a) Сохраняет файл в другом месте
b) Открывает файл
c) Удаляет файл навсегда
d) Перемещает файл в корзину

Ответ: d) Перемещает файл в корзину

---

14. Что такое файл-ярлык? a) Файл с программой
b) Ссылка на другой файл или папку
c) Файл с данными
d) Файл, используемый для архивации

Ответ: b) Ссылка на другой файл или папку

---

15. Для чего используется файл с расширением .pdf? a) Для создания презентаций
b) Для сохранения текстовых документов
c) Для просмотра изображений
d) Для работы с графикой

Ответ: b) Для сохранения текстовых документов

---

16. Какой из этих форматов файла используется для видео? a) .mp3
b) .mp4
c) .txt
d) .xlsx

Ответ: b) .mp4

---

17. В каком месте на компьютере обычно находится "Корзина"? a) На рабочем столе
b) В папке "Документы"
c) В "Моих изображениях"
d) В "Моих видео"

Ответ: a) На рабочем столе

---

18. Какой командой можно переименовать файл? a) Ctrl + A
b) F2
c) Ctrl + S
d) Alt + F4

Ответ: b) F2

---

19. Можно ли одновременно иметь несколько открытых папок? a) Нет, только одна папка может быть открыта
b) Да, можно открыть несколько папок одновременно
c) Это зависит от типа папки
d) Да, но только в разных окнах

Ответ: b) Да, можно открыть несколько папок одновременно

---

20. Какой из этих файлов является выполненной программой? a) setup.exe
b) report.pdf
c) image.jpg
d) document.doc

Ответ: a) setup.exe

---

Тест завершен. Удачи на экзаменах!

Тест по английскому языку для учеников 4 класса

Тема: Времена группы Simple

Инструкция: Соедините правильное слово на левой стороне с правильным временем на правой стороне.

1. buy A. will
2. play B. am/is/are
3. go C. was/were
4. eat D. do/does
5. read E. can
6. will F. went
7. is G. plays
8. are H. ate
9. did I. reads
10. can J. bought

Ответы:

1. J
2. G
3. F
4. H
5. I
6. A
7. B
8. B
9. C
10. E

Тест состоит из 10 вопросов.

Надеюсь, этот тест поможет вам улучшить знание времен группы Simple в английском языке. Удачи на экзамене!