Тест на тему Формулы сокращенного умножения

Ниже представлен тест по теме Вектора для 11 класса. Все вопросы открытые. В конце — полный ответ с подробностями.

Тест (15 вопросов)

1. Найдите длину вектора a = (3, -4, 2).

2. Найдите единичный вектор в направлении b = (1, -2, 2).

3. Найдите скалярное произведение a · b для a = (2, 3, -1) и b = (-3, 0, 4).

4. Найдите угол θ между векторами a = (1, 2, 3) и b = (4, 0, -1). Выразите через скалярное произведение и длины.

5. Найдите проекцию вектора a = (3, 4, 0) на вектор b = (1, 0, -2). Требуется как векторная проекция.

6. Найдите векторную площадь параллелограмма, образованного векторами a = (2, 1, 0) и b = (-1, 3, 4).

7. Найдите значение t ∈ R, при котором вектор a + t b перпендикулярен вектору c. Пусть a = (1, 2, 3), b = (4, -2, 1), c = (7, -1, 2).

8. Пусть A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (4, 0, 5), D = (-1, 4, 2). Определите, лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости. Вычислите соответствующий скалярный тройной произведение AB · (AC × AD).

9. Запишите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A = (1, 0, 2) и имеющей направляющий вектор v = (-1, 3, 4). Запишите параметрическое уравнение прямой.

10. Найдите уравнение плоскости, нормаль которой n = (1, -2, 3) и которая проходит через точку P = (2, 0, -1).

11. Пусть u = (2, 3, -1) и v = (1, -1, 2). Определите, ортогональны ли они. Если нет, найдите вектор w, который перпендикулярен обоим.

12. Найдите длину скалярной проекции вектора a onto вектор b для a = (3, 4, 0) и b = (1, 0, -2). Также найдите саму vectорную проекцию a onto b.

13. Пусть a = (2, 4, 6) и b = (1, 2, 3). Являются ли эти векторы параллельны? Докажите или поясните ответ.

14. Найдите площадь параллелограмма, образованного векторами a = (3, 1) и b = (-2, 4) (в 2D).

15. Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через точки A = (1, 2, 3) и B = (4, 0, 5).

Ответы (ключ к заданиям)

1. |a| = sqrt(3^2 + (-4)^2 + 2^2) = sqrt(9 + 16 + 4) = sqrt(29).

2. |b| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3. Единичный вектор: û = b / |b| = (1/3, -2/3, 2/3).

3. a · b = 2*(-3) + 3*0 + (-1)*4 = -6 + 0 - 4 = -10.

4. a · b = 14 + 20 + 3*(-1) = 4 - 3 = 1. |a| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14). |b| = sqrt(4^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(17). cos θ = (a · b) / (|a| |b|) = 1 / sqrt(238). θ = arccos(1 / sqrt(238)) ≈ 86.2°.

5. a · b = 31 + 40 + 0*(-2) = 3. b · b = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 = 5. Пр proj_b a = [(a · b) / (b · b)] b = (3/5) (1, 0, -2) = (3/5, 0, -6/5).

6. a × b = |i j k; 2 1 0; -1 3 4| = (4, -8, 7). |a × b| = sqrt(4^2 + (-8)^2 + 7^2) = sqrt(16 + 64 + 49) = sqrt(129) ≈ 11.36.

7. (a + t b) · c = 0. a · c = 11, b · c = 32 → t = - (a · c) / (b · c) = -11/32.

8. AB = (1, 2, 3), AC = (4, 0, 5), AD = (-1, 4, 2). AC × AD = (-20, -13, 16). AB · (AC × AD) = (1)(-20) + (2)(-13) + (3)(16) = -20 - 26 + 48 = 2 ≠ 0. Значит точки не лежат на одной плоскости (неCoplanar).

9. Векторное уравнение прямой: r = A + t v = (1, 0, 2) + t(-1, 3, 4). Параметрическое: x = 1 - t, y = 0 + 3t, z = 2 + 4t.

10. Уравнение плоскости: n · (r - P) = 0. (1, -2, 3) · ((x, y, z) - (2, 0, -1)) = 0 => (x - 2) - 2y + 3(z + 1) = 0 => x - 2y + 3z + 1 = 0.

11. u · v = 21 + 3(-1) + (-1)*2 = 2 - 3 - 2 = -3 ≠ 0, значит не ортогональны. Вектор, перпендикулярный обоим: w = u × v = (5, -5, -5) (или любой ненулевой кратный).

12. Скалярная проекция длины: a · b / |b| = 3 / √5. Векторная проекция: [(a · b) / (b · b)] b = (3/5) b = (3/5, 0, -6/5).

13. a × b = (2,4,6) × (1,2,3) = (0, 0, 0) → векторы параллельны (один кратен другим: b = 0.5 a).

14. Площадь параллелограмма в 2D: S = |det([a b])| = |34 - 1(-2)| = |12 + 2| = 14.

15. Векторное уравнение прямой через A и B: Направляющий вектор d = B - A = (3, -2, 2). r = A + t d = (1, 2, 3) + t (3, -2, 2). Параметрическое: x = 1 + 3t, y = 2 - 2t, z = 3 + 2t.

Если нужно, могу адаптировать тест под другой уровень сложности или перевести в формат теста с пустыми полями для ответов.

Тест по Всеобщей Истории: Международное положение в 1930-х годах

Инструкция:

Согласуйте элементы в первом столбце с соответствующими элементами во втором столбце, выбрав правильную пару.

Вопрос 1:

Страны/организации:

1. Германия
2. Советский Союз
3. Лига наций

События/политические программы: A. Пакт о ненападении с Польшей
B. Доктрина Монро
C. Рейхстаг и приход к власти Гитлера

Ответ: 1 - C
2 - A
3 - B

Вопрос 2:

Страны/лидеры:

1. Италия
2. Япония
3. Испания

События/конфликты: A. Внутренний конфликт и Гражданская война
B. Агрессия в Маньчжурии
C. Фашистский режим Муссолини

Ответ: 1 - C
2 - B
3 - A

Вопрос 3:

Ситуации/результаты:

1. Политика умиротворения
2. Начало Второй мировой войны
3. Экономический кризис 1929 года

Страны/реакции: A. Усиление милитаризма в Германии
B. Принятие новых экономических мер в США
C. Согласия на аншлюс Австрии

Ответ: 1 - C
2 - A
3 - B

Итоги теста:

• Проверьте свои ответы с предоставленными вариантами.
• Обсудите с классом полученные результаты и уточните непонятные моменты.

Тест по предмету "Технология" на тему "Чертеж. Геометрические построения" для 6 класса

Инструкция: Соотнесите каждое понятие из первого столбца с правильным его объяснением из второго столбца.

Ответы:

1 - A
2 - B
3 - C
4 - D
5 - E
6 - F
7 - G
8 - H
9 - I
10 - J

Проверка ответов: Проверьте свои ответы, сравнив их с правильными. Удачи!

Тест по Основам специальной педагогики и психологии для 11 класса

Вопрос 1: Кто является основателем специальной педагогики? a) Лев Выготский
b) Иван Павлов
c) Януш Корчак
d) Мария Монтессори

Ответ: d) Мария Монтессори

Вопрос 2: Что изучает специальная психология? a) Психические заболевания
b) Детей с особенностями развития
c) Умственное развитие детей
d) Эмоциональные расстройства

Ответ: b) Детей с особенностями развития

Вопрос 3: Какое понятие используется в специальной педагогике для обозначения особых потребностей учащихся? a) Инклюзия
b) Защита
c) Специальные образовательные потребности
d) Диагностика

Ответ: c) Специальные образовательные потребности

Вопрос 4: Что такое вашингование в контексте специальной педагогики? a) Методика работы с психически больными
b) Групповая терапия
c) Взаимное воздействие
d) Воспроизведение поведения

Ответ: c) Взаимное воздействие

Вопрос 5: Какие основные принципы лежат в основе инклюзивного образования? a) Разделение учеников по способностям
b) Уважение к различиям и равноправие
c) Отсутствие обратной связи с родителями
d) Привилегии для определенных категорий учащихся

Ответ: b) Уважение к различиям и равноправие

Надеюсь, этот тест поможет школьникам подготовиться к экзамену по Основам специальной педагогики и психологии!