Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно
Бесплатный сервис «Учительская»
Соберите тест из готовой базы заданий ЕГЭ. Ученики решат этот тест и вы увидите их ответы прямо на платформе
Собрать тест ЕГЭТест на тему Степенная функция и её свойства
04 октября 2025 10:49
Тест по алгебре (11 класс): Степенная функция и её свойства Тип вопросов: Открытые Количество вопросов: 10 Вывод теста с ответами: Да
- Вопрос 1 Определите степенную функцию в виде f(x) = x^n, где n ∈ N. Какие области определения и значений характерны для этой функции, и какие две характерные свойства графика можно отметить для чётного и нечётного n? Ответ:
- Определение: f(x) = x^n, где n натуральное (1, 2, 3, …).
- Область определения: вся числовая ось R (для любого натурального n).
- Область значений: для чётного n: y ≥ 0; для нечётного n: y ∈ R.
- Свойства графика:
- чётное n: график симметричен относительно оси Y (f(-x) = f(x)); параболоподобная форма, растёт на (-∞, 0] влево и на [0, ∞) вправо, минимум в x = 0;
- нечётное n: график симметричен относительно начала координат (точка перегиба в начале координат), возрастает на всём R.
- Вопрос 2 Докажите по формуле производной и по графику, что f(x) = x^n с натуральным n чётного и нечётного типа имеет разную монотонность на всей оси. Укажите, на каких промежутках функция возрастает/убывает. Ответ:
- Производная: f′(x) = n x^(n−1).
- Нечётное n: n−1 чётно, x^(n−1) ≥ 0 для всех x; f′(x) ≥ 0 и > 0 для x ≠ 0; функция возрастает на всём R (мало того, для x≠0 строго возрастает).
- Чётное n: n−1 нечётно; f′(x) = n x^(n−1) < 0 для x < 0 и > 0 для x > 0; функция убывает на (-∞, 0] и возрастает на [0, ∞).
- Вопрос 3 Найдите вторую производную f″(x) для f(x) = x^n и опишите выпуклость графика в зависимости от n (особенно для чётного и нечётного n). Ответ:
- f″(x) = n(n−1) x^(n−2).
- Для чётного n (n ≥ 2): n−2 чётно, поэтому x^(n−2) ≥ 0 для всех x; f″(x) ≥ 0, график выпуклый по всему R.
- Для нечётного n (n ≥ 3): n−2 нечётно, поэтому знак f″(x) совпадает со знаком x; график имеет точку перегиба в x = 0 (неполная выпуклость, сначала вогнуто, затем выпукло).
- Вопрос 4 Опишите форму графиков функций f(x) = x^2, f(x) = x^3 и f(x) = x^4. Укажите характерные точки и свойства выпуклости/вогнутости. Ответ:
- x^2: парабола вверх; симметрична оси Y; выпукла на всём R; минимум в точке (0,0).
- x^3: S-образная кривая, возрастает на всём R; симметрична относительно начала координат; имеет точку перегиба в (0,0); выпукло на (0, ∞), вогнуто на (−∞, 0).
- x^4: «квадратно-изогнутая» вверх кривая; симметрична оси Y; выпукла на всём R; минимум в (0,0).
- Вопрос 5 Найдите пределы x^n при x → ∞, x → −∞ и x → 0, в зависимости от чётности n. Ответ:
- Чётное n: x^n → ∞ при x → ±∞; x^n → 0 при x → 0.
- Нечётное n: x^n → ∞ при x → ∞; x^n → −∞ при x → −∞; x^n → 0 при x → 0.
- Вопрос 6 Найдите обратную функцию для f(x) = x^n на области x > 0. Укажите её вид и область определения/значений. Ответ:
- Область x > 0 означает, что f: (0, ∞) → (0, ∞) является биекцией.
- Обратная функция: f^−1(y) = y^(1/n), для y > 0.
- Область значений обратной функции: y ∈ (0, ∞).
- Вопрос 7 Решите неравенство x^n > a. Разбейте по парам n чётное/нечётное и по знаку a. Ответ:
- Если n чётное:
- a < 0: все x ∈ R;
- a = 0: x ≠ 0;
- a > 0: x > a^(1/n) или x < −a^(1/n).
- Если n нечётное:
- для любого a ∈ R: x > a^(1/n) (поскольку x^n строго возрастает и существует действительная корень для любого a).
- Вопрос 8 Как изменяется скорость роста f(x) = x^n при увеличении n, если x FIXированно больше 1? Приведите примеры. Ответ:
- Для фиксированного x > 1 увеличение n приводит к возрастанию значения f(x): например, x = 2 → 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, и т.д.
- При 0 < x < 1 увеличение n приводит к уменьшению значения: например, x = 1/2 → (1/2)^1 = 0.5, (1/2)^2 = 0.25, (1/2)^3 = 0.125, и т.д.
- Для x < −1 поведение зависит от чётности n: при чётном n значения положительны и растут по модулю, при нечётном n знаки сохраняют знак x и величина растёт.
- Вопрос 9 Укажите точки перегиба графика f(x) = x^n. В каких случаях они существуют и какие условия на n? Ответ:
- Точка перегиба может быть только тогда, когда f″(x) меняет знак.
- f″(x) = n(n−1) x^(n−2).
- Для чётного n ≥ 2: n−2 чётно, f″(x) ≥ 0 для всех x; точек перегиба нет.
- Для нечётного n ≥ 3: n−2 нечётно, f″(x) меняет знак при x = 0; точка перегиба в x = 0.
- Для n = 1 точка перегиба отсутствует (линейная функция).
- Вопрос 10 Приведите реальный пример применения степенной функции и объясните, как свойства функции помогают решить задачу (модель роста, увязка с монотонностью и пределами). Ответ:
- Пример: модель роста капитала по закону S(t) = S0 t^n (t ≥ 0), где n задаёт темп роста.
- Свойства, которые помогают:
- для любого t > 0 функция растёт; если n > 1, рост ускоряется;
- при чётном n график симметричен относительно оси Y не нужен здесь, но важно понять, что для положительных t значения положительны;
- пределы позволяют оценить поведение при больших t: S(t) → ∞ и т.д.;
- выбор n объясняет, как быстро растёт сумма по мере увеличения времени, и позволяет сравнить сценарии (например, n = 2 против n = 3).
Если нужно, могу адаптировать тест под конкретные учебники или привести примеры с числовыми расчётами для каждого вопроса.
Популярные тесты
Тест по английскому языку для 8 класса
Тема: "Few" и "A few"
Соотнесение
Инструкции: Соедините каждую фразу с правильным вариантом, используя "few" или "a few".
- I have _____ friends in this town.
- There are _____ apples left in the basket.
- He speaks _____ words in French.
- We had to wait for _____ minutes before the bus arrived.
- She has _____ problems that need solving.
- I saw _____ interesting books in the library.
- There are _____ students in the class who need help.
- We need _____ more chairs for the meeting.
- He has traveled to _____ countries around the world.
- I only made _____ mistakes in my exam.
- They had _____ options to choose from.
- There are _____ cookies on the plate.
- He spends _____ hours a day studying.
- I found _____ coins in my pocket.
- She has _____ ideas for the project.
- There are _____ things that I don't understand.
- We have _____ time to finish this assignment.
- I’ve visited _____ interesting places this summer.
- There are _____ ways to solve this problem.
- He knows _____ about the subject.
- I need _____ minutes to think about it.
- They gave me _____ hints to solve the puzzle.
- She has _____ tickets for the concert.
- We can solve this in _____ simple steps.
- He mentioned _____ people he met at the party.
- There are _____ movies we should watch together.
- They own _____ cars, but prefer to walk.
- I have _____ ideas that I want to share.
- We found _____ solutions to the issue.
- She only has _____ minutes to complete the test.
Удачи!
Тест по английскому языку на тему: Чтение с пониманием прочитанного
Класс: 8
Инструкции: Прочитайте текст и ответьте на вопросы, выбрав один правильный вариант ответа.
Текст для чтения:
In a small village, there lived an old man named Mr. Green. He was known for his beautiful garden, which was filled with colorful flowers and fresh vegetables. Every morning, children from the village would visit him to see the garden and listen to his interesting stories. Mr. Green always welcomed them with a smile and sometimes gave them flowers to take home.
One day, a new family moved into the village. They had a young girl named Lily, who loved nature. When she heard about Mr. Green’s garden, she couldn’t wait to visit. That afternoon, she went to his house and knocked on the door. Mr. Green opened the door and greeted her kindly. Lily was amazed by the beauty of the garden and asked Mr. Green if she could help him take care of the flowers. From that day on, they became great friends, spending many afternoons together in the garden.
Вопросы:
What is Mr. Green famous for?
- A) His storytelling
- B) His beautiful garden
- C) His cooking skills
- D) His helpfulness to villagers
Who visited Mr. Green’s garden every morning?
- A) Only adults
- B) Children from the village
- C) Only farmers
- D) Tourists
What is the name of the new girl who moved to the village?
- A) Mary
- B) Lily
- C) Anna
- D) Sarah
How did Mr. Green react when Lily visited him?
- A) He was angry
- B) He was surprised
- C) He greeted her kindly
- D) He ignored her
What did Lily want to do in Mr. Green’s garden?
- A) Pick the flowers
- B) Help him take care of the flowers
- C) Steal vegetables
- D) Plant only vegetables
Конец теста. Пожалуйста, проверьте свои ответы перед сдачей.
Тест по биологии: Митоз и мейоз
Класс: 11
Количество вопросов: 10
Тип вопросов: Единственный выбор
Вопрос 1:
Какой из следующих процессов является основным для бесконечного деления клеток?
- A) Митоз
- B) Мейоз
- C) Апоптоз
- D) Синтез ДНК
Ответ: A) Митоз
Вопрос 2:
Сколько хромосом сохраняется в клетках после митоза по сравнению с исходной клеткой?
- A) Вдвое больше
- B) Вдвое меньше
- C) Остается прежним
- D) Неизвестно
Ответ: C) Остается прежним
Вопрос 3:
Какое из следующих утверждений верно для мейоза?
- A) Происходит в соматических клетках
- B) Результатом является эндоплоидное деление
- C) Образуются генетически одинаковые клетки
- D) Образуются половые клетки
Ответ: D) Образуются половые клетки
Вопрос 4:
Какое из следующих событий происходит во время профазы I мейоза?
- A) Состояние хромосом митоза
- B) Конъюгация гомологичных хромосом
- C) Разделение сестринских хроматид
- D) Легкий ремонт поврежденной ДНК
Ответ: B) Конъюгация гомологичных хромосом
Вопрос 5:
Каков конечный результат мейоза?
- A) Две диплоидные клетки
- B) Четыре гаплоидные клетки
- C) Одна диплоидная клетка
- D) Две гаплоидные клетки
Ответ: B) Четыре гаплоидные клетки
Вопрос 6:
Какой из процессов приводит к генетическому разнообразию у потомков?
- A) Митоз
- B) Мейоз
- C) Дубликация ДНК
- D) Ремонт ДНК
Ответ: B) Мейоз
Вопрос 7:
В каком из следующих процессов хромосомы реплицируются перед делением?
- A) Только в митозе
- B) Только в мейозе
- C) В митозе и мейозе
- D) В мейозе, но не в митозе
Ответ: C) В митозе и мейозе
Вопрос 8:
Какой этап мейоза предшествует разделению гомологичных хромосом?
- A) Анафаза II
- B) Телофаза I
- C) Профаза I
- D) Профаза II
Ответ: C) Профаза I
Вопрос 9:
Что происходит в анафазе митоза?
- A) Хромосомы раскручиваются
- B) Хроматиды разделяются и отходят к полюсам
- C) Образуется новая ядерная оболочка
- D) Начинается конъюгация
Ответ: B) Хроматиды разделяются и отходят к полюсам
Вопрос 10:
Какой процесс приводит к образованию четверной структуры, называемой тетрадой?
- A) Митоз
- B) Мейоз
- C) Слияние яйцеклетки и сперматозоида
- D) Фаговая репликация
Ответ: B) Мейоз
Конец теста
Проверьте свои ответы! Удачи на экзаменах!
ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111
