Тест на тему Это удивительная природа

Ниже представлен тест по алгебре для 9 класса на тему «Функции». Тип вопросов: открытый. Количество вопросов: 20. Включены ответы.

Инструкция: записывайте ответы и кратко показывайте расчёты там, где это требуется. В конце приведён пример решения (ответы) к каждому вопросу.

Задания

1. Найдите значение функции f при f(x) = 4x − 7 в точке x = 9. Что получится?

2. Определите область определения функции f(x) = sqrt(2x + 3).

3. Найдите область значений функции f(x) = x^2 − 5x + 6.

4. Определите, является ли функция f(x) = x^3 − x четной, нечетной или не принадлежит ни к одной группе.

5. Найдите обратную функцию к f(x) = 2x − 5.

6. Пусть f(x) = 2x + 1 и g(x) = x − 3. Найдите (f ∘ g)(x) и (g ∘ f)(x).

7. Найдите корни функции f(x) = x^2 − 9.

8. Определите область определения функции f(x) = sqrt(3x − 2) + 1/(x − 4).

9. Для функции f(x) = 3x^2 − 12x + 5 на отрезке [0, 4] определите, на каких подотрезках функция возрастает и на каких убывает.

10. Найдите вертикальную асимптоту и косую (обобщённую) горизонтальную (или косую) асимптоту рациональной функции f(x) = (2x^2 − 3)/(x − 5).

11. Найдите обратную функцию к f(x) = (x − 1)/(x + 2) и укажите область определения обратной функции.

12. Охарактеризуйте преобразование графика f(x) = x^2 в график f1(x) = (x − 3)^2 + 4: какое смещение по оси OX и по оси OY произошло?

13. Найдите вершину параболы, заданной f(x) = x^2 − 6x + 5.

14. Решите уравнение f(x) = 12, где f(x) = x^2 + 2x.

15. Вычислите значения f(1) и f(4) для функции f(x) = sqrt(x) + 1/x, при условии x > 0.

16. Пусть f(x) = sqrt(x), g(x) = x − 7. Найдите (g ∘ f)(x) и задайте область определения результата.

17. Опишите влияние параметра a на график функции f_a(x) = a|x|: как меняется график при разных знаках и значениях a?

18. Определите непрерывность функции f(x) = 1/(x^2 + 1) на всей вещественной оси.

19. Опишите монотонность функции f(x) = ln x на её естественной области определения (0, ∞).

20. Определите область определения функции f(x) = log_2(x − 1) и найдите значение f(4).

Ответы

1. f(9) = 4·9 − 7 = 36 − 7 = 29.

2. sqrt: 2x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ −3/2. Область: [−3/2, +∞).

3. f(x) = x^2 − 5x + 6. Это парабола с минимумом при x = 5/2. Значение минимума: (5/2)^2 − 5·(5/2) + 6 = 25/4 − 25/2 + 6 = −1/4. Следовательно, область значений: [−1/4, +∞).

4. f(−x) = (−x)^3 − (−x) = −x^3 + x = −(x^3 − x) = −f(x). Следовательно, функция нечетная.

5. y = 2x − 5. Обратная функция: f^−1(y) = (y + 5)/2. То же в виде функции от x: f^−1(x) = (x + 5)/2. Область значения исходной функции является областью определения обратной, т.е. весь R.

6. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(x − 3) + 1 = 2x − 5. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (2x + 1) − 3 = 2x − 2.

7. x^2 − 9 = 0 ⇒ x = −3 или x = 3.

8. 3x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3; x ≠ 4. Область: [2/3, ∞) \ {4}.

9. f'(x) = 6x − 12. На [0, 4]: ниже нуля на [0, 2), равен нулю в x = 2, положителен на (2, 4]. Значит: убывает на [0, 2], возрастает на [2, 4].

10. Вертикальная асимптота: x = 5. Деление (2x^2 − 3)/(x − 5) даёт обобщённую асимптоту y = 2x + 10 (поглядели на частное). Так что косая асимптота y = 2x + 10.

11. y = (x − 1)/(x + 2) ⇒ x = (1 + 2y)/(1 − y). Обратная функция: f^−1(y) = (1 + 2y)/(1 − y). Область определения обратной: y ≠ 1; область значений исходной функции: все значения y ≠ 1, т.е. R {1}. Значение обратной: f^−1(x) = (1 + 2x)/(1 − x), x ≠ 1.

12. f1(x) = (x − 3)^2 + 4 получается из f(x) = x^2 сдвигом: вправо на 3 и вверх на 4.

13. Вершина параболы f(x) = x^2 − 6x + 5: (3, −4).

14. x^2 + 2x = 12 ⇒ x^2 + 2x − 12 = 0 ⇒ x = −1 ± √13. Приближённо x ≈ 2,606 или x ≈ −4,606.

15. f(1) = sqrt(1) + 1/1 = 1 + 1 = 2. f(4) = sqrt(4) + 1/4 = 2 + 0.25 = 2.25.

16. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = f(x) − 7 = sqrt(x) − 7. Область: x ≥ 0.

17. f_a(x) = a|x|: график V-образный, вершина в (0,0). Если a > 0, график раскрывается вверх (значение минимальное). Чем больше |a|, тем круче боковые ветви; если a < 0, график перевёрнут вверх вниз (вершина остаётся в (0,0); график достигает максимума в x = 0 равного 0 и опускается вниз по бокам). При a = 0 график становится нулевой полосой.

18. 1/(x^2 + 1) непрерывна на всей R, так как знаменатель всегда положителен и не обращается в ноль.

19. f(x) = ln x на (0, ∞) строго возрастает (производная 1/x > 0). Значит функция возрастает на своей области определения.

20. f(x) = log_2(x − 1): область определения x − 1 > 0 ⇒ x > 1. Значение в точке x = 4: f(4) = log_2(3) ≈ 1.585.

Если нужна, могу адаптировать задания под конкретные требования вашего учебника или дать более подробные решения по каждому пункту.

Тест по математике для 5 класса
Тема: Запись натуральных чисел

Вопросы:

1. Запишите число восемьсот тридцать четыре цифрами.

2. Какое натуральное число следует за числом 145?

3. Запишите число, состоящее из 5 сотен, 2 десятков и 8 единиц.

4. Найдите сумму чисел 256 и 432. Запишите ответ в числовой форме.

5. Представьте число 1002 с использованием разрядов (единицы, десятки, сотни, тысячи).

Удачи на тесте!

Тест по английскому языку для 6 класса: Сравнение прилагательных

1. Choose the correct form of comparison for the adjective "good": A) gooder B) better C) more good D) gooder

2. Which is the correct form of the adjective "far" in the comparative degree? A) farther B) more far C) farer D) farest

3. What is the superlative form of the adjective "big"? A) biger B) most big C) bigger D) biggest

4. Choose the correct form of comparison for the adjective "beautiful": A) beauty B) beautifuller C) beautifully D) more beautiful

5. Which is the correct superlative form of the adjective "happy"? A) happier B) happyest C) most happy D) happer

6. What is the comparative form of the adjective "clever"? A) cleverer B) most clever C) clevere D) cleverest

7. Choose the correct form of comparison for the adjective "slow": A) slowest B) more slow C) slowlier D) slow

8. What is the superlative form of the adjective "tall"? A) most tall B) taller C) talliest D) tallest

9. Which is the correct comparative form of the adjective "bad"? A) badder B) more bad C) baddest D) worse

10. Choose the superlative form of the adjective "important": A) importantest B) most important C) importanter D) importantier

11. What is the comparative form of the adjective "early"? A) earlily B) earliest C) most early D) earlier

12. Which is the correct superlative form of the adjective "funny"? A) funnyest B) most funny C) funnier D) funniest

13. Choose the correct form of comparison for the adjective "expensive": A) expensivest B) most expensive C) expensiveer D) more expensive

14. What is the comparative form of the adjective "noisy"? A) noisyest B) more noisy C) noise D) noisier

15. Which is the correct superlative form of the adjective "easy"? A) easyest B) most easy C) easier D) easiest

Ответы:

1. B) better
2. A) farther
3. D) biggest
4. D) more beautiful
5. C) most happy
6. A) cleverer
7. A) slowest
8. D) tallest
9. D) worse
10. B) most important
11. D) earlier
12. D) funniest
13. B) most expensive
14. D) noisier
15. D) easiest