Тест на тему Критерии вида, процессы образования видов

Ниже тест по геометрии для 8 класса на тему параллелограмма. Тип вопросов — открытые. Всего 5 вопросов. В конце каждого вопроса даны ответы и краткие пояснения.

1. Дан параллелограмм ABCD. AB = 8 см, BC = 5 см, угол ABC = 60°. Найдите длину диагонали AC. Ответ: AC = 7 см. Обоснование: в треугольнике ABC сторонами являются AB и BC, между ними угол ∠ABC. По теореме косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos(∠ABC) = 8^2 + 5^2 − 2·8·5·cos(60°) = 64 + 25 − 80·0.5 = 49. AC = sqrt(49) = 7.

2. Перечисли три основных свойства параллелограмма и кратко поясни, почему они выполняются. Ответ:

• Противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и AD ∥ BC. Это следует из определения параллелограмма (параллельность противоположных сторон образует параллелограмм).
• Противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Это следует из того, что параллелограмм имеет одинаковую пару противоположных сторон.
• Диагонали пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам: пересечение диагоналей O делит AC и BD на отрезки AO = OC и BO = OD. Это доказано через свойства параллельности противоположных сторон и равенства соответствующих треугольников, образующихся вокруг точки пересечения диагоналей.

3. Доказать, что диагонали параллелограмма пересекаются в середине (то есть делят друг друга пополам). Ответ (план доказательства):

• Пусть ABCD — параллелограмм, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
• Так как AB ∥ CD и AD ∥ BC, углы при вершинах A и C соответствуют углам при вершинах B и D, что даёт равенство углов в треугольниках ABO и CDO (и аналогично для других пар треугольников вокруг O).
• Из равенств углов и того, что AB = CD, AD = BC, следует, что треугольники ABO и CDO подобны и пропорции дают AO = CO и BO = DO.
• Значит O — середина обеих диагоналей AC и BD.

4. В параллелограмме AB = 9 см, BC = 6 см, угол ABC = 120°. Найдите диагональ BD. Ответ: BD ≈ 7.94 см (точно: sqrt(63) см). Обоснование: angle BAD = 60° (углы параллелограмма суммируются до 180°, A = 180° − B = 60°). В треугольнике ABD: BD^2 = AB^2 + AD^2 − 2·AB·AD·cos(angle BAD) где AD = BC = 6. Следовательно: BD^2 = 9^2 + 6^2 − 2·9·6·cos 60° = 81 + 36 − 108·0.5 = 63. BD = sqrt(63) ≈ 7.94 см.

5. Найдите площадь параллелограмма, если AB = 7 см, BC = 5 см и угол ABC = 40°. Ответ: S = AB · BC · sin(∠ABC) = 7 · 5 · sin 40° ≈ 35 · 0.6428 ≈ 22.50 см². Обоснование: площадь параллелограмма равна произведению стороны на ближайшую высоту, что эквивалентно AB·BC·sin угла между ними.

Test: Complete the sentences using the Present Perfect Continuous form of the verbs in brackets. (7th Grade English)

1. I __________ (study) for my exams for two hours.
2. She __________ (cook) dinner since 5 o'clock.
3. We __________ (play) football in the park all afternoon.
4. He __________ (fix) his bike for the last hour.
5. They __________ (wait) for the bus since 3 o'clock.
6. The flowers __________ (grow) in the garden for months.
7. Mary __________ (read) that book for the past week.
8. The students __________ (practice) for the school play for weeks.
9. It __________ (rain) all morning.
10. Tom and Jack __________ (paint) the fence since this morning.
11. The baby __________ (cry) for hours.
12. I __________ (work) on my project since yesterday.
13. Lisa __________ (run) in the marathon for hours.
14. The builders __________ (construct) the house for months.
15. The birds __________ (sing) in the trees all day.
16. We __________ (clean) the house since morning.
17. He __________ (exercise) at the gym for an hour.
18. She __________ (wait) for her friend since noon.
19. The children __________ (play) in the garden for hours.
20. Sarah __________ (drive) since sunrise.

Answers:

1. have been studying
2. has been cooking
3. have been playing
4. has been fixing
5. have been waiting
6. have been growing
7. has been reading
8. have been practicing
9. has been raining
10. have been painting
11. has been crying
12. have been working
13. has been running
14. have been constructing
15. have been singing
16. have been cleaning
17. has been exercising
18. has been waiting
19. have been playing
20. has been driving