Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

В последовательности a₁, a₂,..., a_n−1, a_n, состоящей из целых чисел, a₁  =  1, a_n  =  235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а)  Приведите пример такой последовательности.

б)  Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в)  Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

В течение 𝑛 дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли 𝑛 быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 31 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.

а)  Можно ли сделать 4 хода?

б)  Можно ли сделать 9 ходов?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать?

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше .

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно .

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения . 

Квадратное уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.

а) Пусть $q=25$. Найдите все возможные значения p.

б) Пусть $p+q=26$. Найдите все возможные значения q.

в) Пусть $q^2-p^2=476$. Найдите все возможные корни исходного уравнения.

В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22 %.
а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!