Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7?

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

а) Может ли быть записано число 250?

б) Можно ли обойтись без числа 11?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?

Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.

а) Могло ли N равняться 2?

б) Могло ли N равняться 10?

в) Каково наибольшее возможное значение N?

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 127?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 46?

в) Какова их минимальная сумма?

Дано квадратное уравнение  где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 5.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –17?

б) Может ли такое уравнение иметь корень $-$61?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Будем называть четырёхзначное число счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, счастливым является число 5014.

а) Существуют ли тридцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть 4 счастливых?

б) Может ли разность двух счастливых четырёхзначных чисел равняться 1014?

в) Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему счастливого четырёхзначного числа.

Квадратное уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.

а) Пусть $q=25$. Найдите все возможные значения p.

б) Пусть $p+q=26$. Найдите все возможные значения q.

в) Пусть $q^2-p^2=476$. Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Квадратное уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.

а) Пусть $q=54$. Найдите все возможные значения p.

б) Пусть $p+q=78$. Найдите все возможные значения q.

в) Пусть $q^2-p^2=12028$. Найдите все возможные корни исходного уравнения.

а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x^2+mx+n$ равен 13?

б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x^2+mx+n$ равен 30?

в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена $x^2+(2m+n)x +(2n+m)$, если известно, что числа m, n и D — натуральные?

а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x^2+mx+n$ равен 37?

б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена $x^2+mx+n$ равен 78?

в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена $x^2+(7m+n)x +(8n+m)$, если известно, что числа m, n и D — натуральные?