Задание №35883 ЕГЭ Профильной математике

а) Обозначим корни данного уравнения за $x_1{x}_2.$ По теореме Виета $x_1{x}_2=25.$ Разложить число 25 на два натуральных множителя можно только двумя способами: $25=1*25=5*5$. Причем подходят нам только различные корни. Получаем, что $x_1+x_2=26$. Отсюда по теореме Виета получаем, что $p=-26$ 

б) Получаем уравнение $-(x_1+x_2)+x_1{x}_2=26.$ Отсюда $1-x_1-x_2+x_1{x}_2=27\iff (x_1-1)(x_2-1)=27.$ $(x_1-1)$ и $(x_2-1)$ — целые неотрицательные числа, поэтому $x_1-1=1$, $x_2-1=27$ (или наоборот); $x_1-1=3, x_2-1=9$(или наоборот). В любом случае $q=x_1{x}_2=56$ или $q=x_1{x}_2=40$.

в) $q^2-p^2=(q-p)(q+p)=(x_1{x}_2+x_1+x_2)(x_1{x}_2-x_1-x_2)=476=4*7*17.$ Числа $q-p$ и $q+p$ отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности и поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того $q-p>q+p$, поэтому остаются такие варианты:

1) $x_1{x}_2+x_1+x_2=238$, $x_1{x}_2-x_1-x_2=2.$

2)$x_1{x}_2+x_1+x_2=34, x_1{x}_2-x_1-x_2=14$.

Рассмотрим первый случай: $(x_1+1)(x_2+1)=239, (x_1-1)(x_2-1)=3$. Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому данный случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай:  $(x_1+1)(x_2+1)=35, (x_1-1)(x_2-1)=15.$Все возможные натуральные решения второго уравнения  - это (4; 6), (6; 4), (16; 2), (2; 16). Первому уравнению удовлетворяют только пары (4; 6) и (6; 4).