Задание №11330 ЕГЭ Профильной математике

$\text{а)} {\log }_7\left(2{\cos }^2\left(x\right)+3\cos \left(x\right)-1\right)=0$

$2{\cos }^2\left(x\right)+3\cos \left(x\right)-1=1$

$2{\cos }^2\left(x\right)+3\cos \left(x\right)-2=0$

$\text{Введем замену }a=\cos \left(x\right), -1⩽a⩽1.$

$2a^2+3a-2=0$

$D=b^2-4ac=9-4·2·(-2)=9+16=25=5^2$

$\left[\begin{array}{c}{a}_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}{4}=0,5\\ a_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-5}{4}=-\frac{8}{4}=-2\text{ (не подходит)}\end{array}\right.$

$\text{Обратная замена: }\cos \left(x\right)=0,5$

$x=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi n}, \mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$\text{б) Используем окружность для отбора:}$

$\text{Ответ:}$

$\text{а)} \{\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi n}, \mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\}.$

$\text{б)} -\frac{7\mathrm{\pi }}{3}.$