Задание №26513 ЕГЭ Профильной математике

а) Найдем ограничение на cos: $-10\cos x+5\ge 0 \iff 10\cos x\le 5 \iff \cos x\le \frac{1}{2}$

Преобразуем выражение:

$$\begin{gathered} 2\cos x-1=\sqrt{-10\cos x+5} \\ \mathrm{Возведем} \mathrm{в} \mathrm{квадрать} \mathrm{обе} \mathrm{части} \mathrm{уравнения} \\ 4{\cos }^2\mathrm{x}-4\mathrm{cosx}+1=-10\mathrm{cosx}+5 \\ 4{\cos }^2\mathrm{x}+6\mathrm{cosx}-4=0 \\ \mathrm{Сделаем} \mathrm{замену}. \mathrm{Пусть} \mathrm{t} = \mathrm{cosx}, -1\le \mathrm{t}\le \frac{1}{2} \\ 4{\mathrm{t}}^2+6\mathrm{t}-4=0 \\ \mathrm{D} = 36+4·4·4=36+64=100 \\ {\mathrm{t}}_1=\frac{-6-\sqrt{100}}{8}=\frac{-6-10}{8}=\frac{-16}{8}=-2 - \mathrm{не} \mathrm{удовлетворяет} \mathrm{услов}.-1\le \mathrm{t}\le \frac{1}{2} \\ {\mathrm{t}}_2=\frac{-6+\sqrt{100}}{8}=\frac{-6+10}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{Сделаем} \mathrm{обратную} \mathrm{замену}: \\ \mathrm{cosx}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{x} = \pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k} \in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

б) Сделаем отбор корней при помощи тригонометрической окружности:

Таким образом, в данном отрезке нет корней

Ответ: $$\begin{gathered} \mathrm{а}) \mathrm{x} =\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \mathrm{б}) \mathrm{нет} \mathrm{корней} \end{gathered}$$