Задание №4178. При малых колебаниях вблизи положения равновесия математического

Условие задания #4178

При малых колебаниях вблизи положения равновесия математического маятника длиной $l= 1$ м модуль силы натяжения нити, на которой подвешен грузик массой $m= 100$ г, меняется в пределах от $T$ до $T плюс \Delta T,$ где $\Delta T =15$ мН и $\Delta T\ll T.$ Найдите амплитуду $A$ колебаний этого маятника. Трение не учитывайте. При решении задачи учтите, что для малых углов $\alpha$ справедливо приближённое равенство $синус \alpha \approx \alpha.$ Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузик.

Ответ:

Решение

Изобразим маятник в двух состояниях: максимального отклонения, когда он останавливается, отклонившись от положения равновесия на расстояние $A,$ и при прохождении им этого положения равновесия (см. рисунок). На грузик маятника массой $m$ действует сила тяжести $m\vec{g},$ направленная вертикально вниз, и переменная сила $\vec{T}$ натяжения нити, меняющаяся по модуля от $T$ в положении максимального отклонения, когда вектор $\vec{T}$ наклонен под малым углом $\alpha$ к вертикали, до $T плюс \Delta T$ в положении равновесия, где вектор $\vec{T}$ вертикален, а грузик движется со скоростью $\vec{V},$ направленной горизонтально.

Поскольку трения нет, согласно закону сохранения механической энергии потенциальная энергия маятника в крайнем положении, отсчитанная от начального уровня в положении равновесия, должна равняться кинетической энергии при прохождении положения равновесия: $mgl левая круглая скобка 1 минус косинус \alpha правая круглая скобка = дробь, числитель — mV в степени 2 , знаменатель — 2 .$

В положении максимального отклонения суммарная сила $\vec{T} плюс m\vec{g}$ направленная вдоль траектории грузика — окружности с радиусом $l,$ то есть перпендикулярно вектору $\vec{T},$ а скорость грузика в этот момент равна нулю, $T=mg косинус \alpha.$

При прохождении положения равновесия грузик обладает центростремительным ускорением, и уравнение его движения в проекции на вертикальную ось имеет вид $дробь, числитель — mV в степени 2 , знаменатель — l =T плюс \Delta T минус mg.$

Подставляя сюда полученные выше выражения для $V в степени 2$ и для $T,$ находим $\Delta T=3mg(1 минус косинус \alpha).$ В силу малости угла $\alpha \approx дробь, числитель — A, знаменатель — l ,$ откуда имеем $\Delta T=3mg(1 минус косинус \alpha) = 3mg умножить на 2 синус в степени 2 левая круглая скобка дробь, числитель — \alpha, знаменатель — 2 правая круглая скобка \approx 3mg умножить на дробь, числитель — \alpha в степени 2 , знаменатель — 2 \approx дробь, числитель — 3mgA в степени 2 , знаменатель — 2l в степени 2 ,$ в итоге $A\approx l корень из { дробь, числитель — 2 \Delta T, знаменатель — 3mg }=10см.$

Понятно ли решение?

Задание №4178 ЕГЭ Физике

Условие задания #4178

Ответ:

Решение

Решения от учеников

Похожие задания