Задание №60894. а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения

Задание №60894 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #60894

а)  Решите уравнение $2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ

Ответ:

Решение

а)  Используя нечетность синуса, четность косинуса и формулу двойного угла, разложим на множители:

$2 синус 2x плюс 2 синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно 2 синус 2x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$ $равносильно 4 синус x косинус x минус 2 синус x минус 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 2 косинус x минус 1 = 0,2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$ $равносильно совокупность выражений 2 косинус x = 1,2 синус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Отберем корни первой серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 2 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 26 меньше или равно 12k меньше или равно минус 17 равносильно k = минус 2.$

При k  =  −2 получаем: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k = минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Отберем корни второй серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 10 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 34 меньше или равно 12k меньше или равно минус 25$   — нет целых значений k.

Отберем корни третьей серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 25 меньше или равно 12k меньше или равно минус 16 равносильно k = минус 2.$

При k  =  −2 получаем: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k = минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Отберем корни четвертой серии:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи }6 плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 24 Пи меньше или равно 5 Пи плюс 12 Пи k меньше или равно минус 15 Пи равносильно минус 29 меньше или равно 12k меньше или равно минус 20 равносильно k = минус 2.$

При k  =  −2: $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k = минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи }3 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: п конец дроби равая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот