Задание №75361 ЕГЭ Профильной математике

а) $11\cos 2\mathit{x}=7\sin \left(\mathit{x}-\frac{\mathit{\pi }}{2}\right)-9$,

$11\left(2{\cos }^2\mathit{x}-1\right)=-7\cos \mathit{x}-9$,

$22{\cos }^2\mathit{x}-11+7\cos \mathit{x}+9=0$,

$22{\cos }^2\mathit{x}+7\cos \mathit{x}-2=0$.

Обозначим $\cos \mathit{x}=\mathit{t}$, $\left|\mathit{t}\right|⩽1$.

Тогда уравнение примет вид: $22{\mathit{t}}^2+7\mathit{t}-2=0$.

Решим его. $22{\mathit{t}}^2+7\mathit{t}-2=0$,

$\mathit{D}=49+2\cdot 4\cdot 22=225$. ${\mathit{t}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-7\pm 15}{44}$,

${\mathit{t}}_1=-\frac{1}{2}$, ${\mathit{t}}_2=\frac{8}{44}=\frac{2}{11}$.

$1$. $\cos \mathit{x}=-\frac{1}{2}$, $\mathit{x}=\pm \left(\mathit{\pi }-\frac{\mathit{\pi }}{3}\right)+2\mathit{\pi }\mathit{n}$;

$\mathit{x}=\pm \frac{2\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{n}$, $\mathit{n}\in \mathit{Z}$.

$2$. $\cos \mathit{x}=\frac{2}{11}$, $\mathit{x}=\pm \arccos \frac{2}{11}+2\mathit{\pi }\mathit{k}$, $\mathit{k}\in \mathit{Z}$.

б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\mathit{\pi };0\right]$.

${\mathit{x}}_1=-\mathit{\pi }+\frac{\mathit{\pi }}{3}=-\frac{2\mathit{\pi }}{3}$

${\mathit{x}}_2=-\arccos \frac{2}{11}$.