Задание №75362 ЕГЭ Профильной математике

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left(\mathit{x}+\frac{\mathit{\pi }}{2}\right)=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x},$

$2\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{n}}^2\mathit{x}+7\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}-4=0$

Обозначим $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}=\mathit{t},-1\le \mathit{t}\le 1$, получим

$2{\mathit{t}}^2+7\mathit{t}-4=0.$

${\mathit{t}}_1=\frac{-7-9}{2·2}=-4$ — не удовлетворяет условию $-1\le \mathit{t}\le 1.$

${\mathit{t}}_2=\frac{-7+9}{2·2}=\frac{1}{2}$.

Вернёмся к исходной переменной:

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}=\frac{1}{2}$,

$\mathit{x}=\frac{\mathit{\pi }}{6}+2\mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z}$

$\mathit{x}=\frac{5\mathit{\pi }}{6}+2\mathit{\pi }\mathit{k},\mathit{k}\in \mathit{Z}$

б) Корни, принадлежащие отрезку $\left[-2\mathit{\pi };-\frac{\mathit{\pi }}{2}\right]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим: $\frac{\mathit{\pi }}{6}-2\mathit{\pi }=-\frac{11\mathit{\pi }}{6};\frac{5\mathit{\pi }}{6}-2\mathit{\pi }=-\frac{7\mathit{\pi }}{6}$.