Задание №75364 ЕГЭ Профильной математике

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{x}+\frac{3\mathit{\pi }}{2}\right)=-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x},$

$2\mathit{c}\mathit{o}{\mathit{s}}^2\mathit{x}+5\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}+2=0$

Обозначим $\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}=\mathit{t},-1\le \mathit{t}\le 1$, получим $2{\mathit{t}}^2+5\mathit{t}+2=0.{\mathit{t}}_1=\frac{-5-3}{2·2}=-2$ — не удовлетворяет условию $-1\le \mathit{t}\le 1.{\mathit{t}}_2=\frac{-5+3}{2·2}=-\frac{1}{2}$.

Вернёмся к исходной переменной: $\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}=-\frac{1}{2}$,

$\mathit{x}=\pm \left(\mathit{\pi }-\frac{\mathit{\pi }}{3}\right)+2\mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z},\mathit{x}=\pm \frac{2\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z}.$

б) Корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\mathit{\pi }}{2};\frac{3\mathit{\pi }}{2}\right]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим числа $\frac{2\mathit{\pi }}{3};\frac{4\mathit{\pi }}{3}$.