Задание №75368 ЕГЭ Профильной математике

а) Решим уравнение $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\left(2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}-1\right)+\sqrt{3}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}+\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{4\mathit{\pi }}{3}=0$.

Так как $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{4\mathit{\pi }}{3}=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{\pi }+\frac{\mathit{\pi }}{3}\right)=-\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{\mathit{\pi }}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, то уравнение примет вид $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\left(2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}-1\right)+\sqrt{3}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$. Отсюда $2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\left(\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}\left(\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}-\frac{1}{2}\right)=0;\left(2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}+\sqrt{3}\right)\left(\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}-\frac{1}{2}\right)=0$.

Тогда $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}=\frac{1}{2};\mathit{x}={\left(-1\right)}^{\mathit{n}}\frac{\mathit{\pi }}{6}+\mathit{\pi }\mathit{n}$ или $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2};\mathit{x}={\left(-1\right)}^{\mathit{n}+1}\frac{\mathit{\pi }}{3}+\mathit{\pi }\mathit{n}$, где $\mathit{n}\in \mathit{Z}.$

б) Корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{\mathit{\pi }}{2};\mathit{\pi }\right]$, найдём с помощью числовой окружности: $-\frac{\mathit{\pi }}{3};\frac{\mathit{\pi }}{6};\frac{5\mathit{\pi }}{6}$.