Задание №75376 ЕГЭ Профильной математике

а)$\frac{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2\mathit{x}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{\pi }-\mathit{x}\right)}=\sqrt{2}$.

а) Применим формулу синуса двойного аргумента $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2\mathit{x}=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}$ и формулу приведения $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{\pi }-\mathit{x}\right)=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}$.

Уравнение примет вид: $\frac{2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}}=\sqrt{2}$.

Учитывая, что $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\ne 0,\mathit{x}\ne \mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z}$, получим:

$2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}=\sqrt{2}$,

$\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\mathit{x}=\pm \frac{\mathit{\pi }}{4}+2\mathit{\pi }\mathit{k},\mathit{k}\in \mathit{Z}$;

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{5\mathit{\pi }}{2};-\mathit{\pi }\right)$, с помощью окружности.

${\mathit{x}}_1=-2\mathit{\pi }+\frac{\mathit{\pi }}{4}=-\frac{7\mathit{\pi }}{4}$

${\mathit{x}}_2=-2\mathit{\pi }-\frac{\mathit{\pi }}{4}=-\frac{9\mathit{\pi }}{4}$

Ответ: а)$\pm \frac{\mathit{\pi }}{4}+2\mathit{\pi }\mathit{k},\mathit{k}\in \mathit{Z}$;б)$-\frac{9\mathit{\pi }}{4};-\frac{7\mathit{\pi }}{4}$