Задание №75377 ЕГЭ Профильной математике

а)$\frac{\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2\mathit{x}}{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left(\mathit{\pi }+\mathit{x}\right)}=-\sqrt{2}$.

Зная, что $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}2\mathit{x}=2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x},\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left(\mathit{\pi }+\mathit{x}\right)=-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}$, получим: $\frac{2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}{-\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}=-\sqrt{2}$.

Учитывая, что $\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\ne 0,\mathit{x}\ne \frac{\mathit{\pi }}{2}+\mathit{\pi }\mathit{m},\mathit{m}\in \mathit{Z}$, имеем:

$2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}=\sqrt{2}$,

$\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\mathit{x}=\frac{\mathit{\pi }}{4}+2\mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z}$;

$\mathit{x}=\frac{3\mathit{\pi }}{4}+2\mathit{\pi }\mathit{k},\mathit{k}\in \mathit{Z}$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left(-2\mathit{\pi };-\frac{\mathit{\pi }}{2}\right)$.

1. $\mathit{x}=\frac{\mathit{\pi }}{4}+2\mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z}$.

$\mathit{n}=-1$.

При $\mathit{n}=-1$

$\mathit{x}=\frac{\mathit{\pi }}{4}-2\mathit{\pi }=-\frac{7\mathit{\pi }}{4}$.

2. $\mathit{x}=\frac{3\mathit{\pi }}{4}+2\mathit{\pi }\mathit{k},\mathit{k}\in \mathit{Z}$.

,

,

,

,

,

$\mathit{k}=-1$.

При $\mathit{k}=-1$

$\mathit{x}=\frac{3\mathit{\pi }}{4}-2\mathit{\pi }=-\frac{5\mathit{\pi }}{4}$.