Задание №75378 ЕГЭ Профильной математике

а) После замены $\mathit{t}=3^{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}$ исходное уравнение примет вид $9{\mathit{t}}^2-10\sqrt{3}\mathit{t}+3=0$. Корни этого уравнения $\mathit{t}=\sqrt{3};\mathit{t}=\frac{\sqrt{3}}{9}$. Возвращаясь к переменной $\mathit{x}$, получим

$[\begin{array}{c}{\mathrm{3}}^{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}=\sqrt{3}\\ {\mathrm{3}}^{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}=\frac{\sqrt{3}}{9}\\ \end{array}$ $[\begin{array}{c}{\mathrm{3}}^{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}=3^{\frac{1}{2}}\\ {\mathrm{3}}^{\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}}=3^{-\frac{3}{2}}\\ \end{array}$ $[\begin{array}{c}\mathrm{cosx}=\frac{1}{2}\\ \mathrm{cosx}=-\frac{3}{2}\\ \end{array}$

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим $\mathit{x}=\pm \frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{n};\mathit{n}\in \mathit{Z}$.

б) Запишем решение уравнения в виде $\mathit{x}=-\frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{n};\mathit{n}\in \mathit{Z}$ или $\mathit{x}=\frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{k};\mathit{k}\in \mathit{Z}$ и выясним, для каких целых значений $\mathit{n}$ и $\mathit{k}$ справедливы неравенства $\frac{3\mathit{\pi }}{2}\le -\frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{n}\le 4\mathit{\pi }$ и $\frac{3\mathit{\pi }}{2}\le \frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{k}\le 4\mathit{\pi }$.

Получим $\frac{11}{12}\le \mathit{n}\le \frac{26}{12}$ и $\frac{7}{12}\le \mathit{k}\le \frac{22}{12}$.

Откуда следует, что два целых значения $\mathit{n}=1$ и $\mathit{n}=2$ удовлетворяют неравенству $\frac{11}{12}\le \mathit{n}\le \frac{26}{12};\mathit{k}=1$ - единственное целое $\mathit{k}$, удовлетворяющее неравенству $\frac{7}{12}\le \mathit{k}\le \frac{22}{12}$.

При $\mathit{n}=1$ $\mathit{x}=-\frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }·1=\frac{5\mathit{\pi }}{3}$.

При $\mathit{n}=2$ $\mathit{x}=-\frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }·2=\frac{11\mathit{\pi }}{3}$.

При $\mathit{k}=1$ $\mathit{x}=\frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }·1=\frac{7\mathit{\pi }}{3}$. Итак, $\frac{5\mathit{\pi }}{3};\frac{7\mathit{\pi }}{3};\frac{11\mathit{\pi }}{3}$ - корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\frac{3\mathit{\pi }}{2};4\mathit{\pi }\right]$.

Ответ: а)$\mathit{x}=\pm \frac{\mathit{\pi }}{3}+2\mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z}$;б)$\frac{5\mathit{\pi }}{3};\frac{7\mathit{\pi }}{3};\frac{11\mathit{\pi }}{3}$