Задание №75379 ЕГЭ Профильной математике

а) После замены $\mathit{t}=\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_2\left(2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}+1\right)$ исходное уравнение примет вид ${\mathit{t}}^2-17\mathit{t}+16=0$. Корни этого уравнения $\mathit{t}=1,\mathit{t}=16$. Возвращаясь к переменной $\mathit{x}$, получим:

$[\begin{array}{c}{\log }_2\left(2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}+1\right)=1\\ {\log }_2\left(2\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}+1\right)=16\\ \end{array}$ $[\begin{array}{c}\mathrm{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}+1=2\\ \\ \mathrm{2}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}+1=2^{16}\\ \end{array}$

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим: $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{x}=\frac{1}{2};\mathit{x}={\left(-1\right)}^{\mathit{n}}\frac{\mathit{\pi }}{6}+\mathit{\pi }\mathit{n};\mathit{n}\in \mathit{Z}$.

б) Запишем решение уравнения в виде $\mathit{x}=\frac{\mathit{\pi }}{6}+2\mathit{\pi }\mathit{n};\mathit{n}\in \mathit{Z}$ или $\mathit{x}=\frac{5\mathit{\pi }}{6}+2\mathit{\pi }\mathit{k};\mathit{k}\in \mathit{Z}$ и выясним, для каких целых значений $\mathit{n}$ и $\mathit{k}$ справедливы неравенства $\frac{\mathit{\pi }}{4}\le \frac{\mathit{\pi }}{6}+2\mathit{\pi }\mathit{n}\le 2\mathit{\pi }$ и $\frac{\mathit{\pi }}{4}\le \frac{5\mathit{\pi }}{6}+2\mathit{\pi }\mathit{k}\le 2\mathit{\pi }$.

Получим: $\frac{1}{24}\le \mathit{n}\le \frac{11}{12}$ и $-\frac{7}{24}\le \mathit{k}\le \frac{7}{12}$, откуда следует, что нет целых значений $\mathit{n}$, удовлетворяющих неравенству $\frac{1}{24}\le \mathit{n}\le \frac{11}{12};\mathit{k}=0$ - единственное целое $\mathit{k}$, удовлетворяющее неравенству $-\frac{7}{24}\le \mathit{k}\le \frac{7}{12}$.

При $\mathit{k}=0$ $\mathit{x}=\frac{5\mathit{\pi }}{6}+2\mathit{\pi }·0=\frac{5\mathit{\pi }}{6}$. Итак, $\frac{5\mathit{\pi }}{6}$ - корень уравнения, принадлежащий отрезку $\left[\frac{\mathit{\pi }}{4};2\mathit{\pi }\right]$.

Ответ: а)${\left(-1\right)}^{\mathit{n}}\frac{\mathit{\pi }}{6}+\mathit{\pi }\mathit{n},\mathit{n}\in \mathit{Z}$;б)$\frac{5\mathit{\pi }}{6}$