Задание №75380 ЕГЭ Профильной математике

а) Решим уравнение $6\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_2^2\left(2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\right)-9\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_2\left(2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\right)+3=0$. Обозначим $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_2\left(2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\right)=\mathit{t}$ и решим получившееся квадратное уравнение.

$6{\mathit{t}}^2-9\mathit{t}+3=0,\mathit{t}=\frac{9\pm 3}{12};{\mathit{t}}_1=\frac{1}{2};{\mathit{t}}_2=1$.

$[\begin{array}{c}{\log }_2\left(2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\right)=\frac{1}{2}\\ {\log }_2\left(2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\right)=1\\ \end{array}$ $[\begin{array}{c}\mathrm{2}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}=\sqrt{2}\\ \mathrm{2}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}=2\\ \end{array}$

$[\begin{array}{c}\cos \mathit{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos \mathit{x}=1\\ \end{array}$ $[\begin{array}{c}\mathrm{x}=\pm \frac{\mathit{\pi }}{4}+2\mathit{\pi }\mathit{n}\\ \mathit{n}∊\mathit{Z}\\ \mathrm{x}=2\mathit{\pi }\mathit{k}\\ \mathit{k}∊\mathit{Z}\\ \end{array}$

б) Корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\mathit{\pi }}{2};\mathit{\pi }\right]$, найдём с помощью числовой окружности:

${\mathit{x}}_1=-\frac{\mathit{\pi }}{4};{\mathit{x}}_2=0;{\mathit{x}}_3=\frac{\mathit{\pi }}{4}$.