Задание №75382 ЕГЭ Профильной математике

а) Запишем исходное уравнение в виде $2{\cos }^2\mathrm{x}-3\sqrt{2}\mathrm{cosx}+2=0$.

Решая это уравнение как квадратное относительно $\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}$, получим ${\left(\mathrm{cosx}\right)}_{1,2}=\frac{3\sqrt{2}\pm \sqrt{18-16}}{4}=\frac{3\sqrt{2}\pm \sqrt{2}}{4}$.

Значит, ${\left(\mathrm{cosx}\right)}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{Z}$ или $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{Z}$.

Уравнение ${\left(\mathrm{cosx}\right)}_2=\sqrt{2}$ корней не имеет.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[\frac{3\mathrm{\pi }}{2};\frac{5\mathrm{\pi }}{2}]$ с помощью числовой окружности.

Получим числа

$2\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{7\mathrm{\pi }}{4}$;

$2\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{9\mathrm{\pi }}{4}$.

 а)$\pm \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{Z}$;б)$\frac{7\mathrm{\pi }}{4},\frac{9\mathrm{\pi }}{4}$