Задание №75392 ЕГЭ Профильной математике

Решение:

$2\sin x{\cos }^{2}x+\sqrt{2}\cdot 2\sin x\cos x+\sin x=0$

$\sin x(2{\cos }^{2}x+2\sqrt{2}\cos x+1)=0$

${\displaystyle [\begin{array}{c}\sin x=0\\ 2{\cos }^{2}x+2\sqrt{2}\cos x+1=0\end{array}}$

Решим второе уравнение;

сделаем замену $\cos x=t;\left|t\right|\le 1$

$2t^2+2\sqrt{2}t+1=0$

$D=8-8=0;$

${\displaystyle t=-\frac{\sqrt{2}}{2};}$ получим:

${\displaystyle [\begin{array}{c}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array};}$

${\displaystyle [\begin{array}{c}x=\pi k,k\in Z\\ x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in Z\end{array};}$

б) Отберем корни на отрезке ${\displaystyle [-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}]}$ с помощью единичной окружности.

Отметим на единичной окружности отрезок ${\displaystyle [-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}]}$ и найдем серии решений;

${\displaystyle x_1=-4\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{13\pi }{4}}$

${\displaystyle x_2=-3\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{11\pi }{4}}$

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки ${\displaystyle -4\pi ;-\frac{13\pi }{4};-3\pi ;-\frac{11\pi }{4}.}$

Ответ:

а) ${\displaystyle \pi k;\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,k,n\in Z}$

б) ${\displaystyle -4\pi ;-\frac{13\pi }{4};-3\pi ;-\frac{11\pi }{4}}$