Задание №75394 ЕГЭ Профильной математике

Применим формулы приведения: ${\displaystyle \cos (2x-\frac{\pi }{2})=\cos (\frac{\pi }{2}-2x)=\sin 2x,}$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x,$

уравнение примет вид:

$2\sin x\cos x=\sqrt{3}\cos x,$

$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0,$

$(2\sin x-\sqrt{3})\cos x=0,$

$[\begin{array}{c}2\sin x-\sqrt{3}=0\\ \cos x=0\end{array},[\begin{array}{c}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos x=0\end{array}.$

$[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z\\ x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\end{array}.$

б) Найдем корни на отрезке ${\displaystyle [\pi ;\frac{5\pi }{2}]}$ с помощью двойных неравенств.

1) Серия решений ${\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z}$

${\displaystyle \pi \le \frac{\pi }{3}+2\pi k\le \frac{5\pi }{2},k\in Z,}$

${\displaystyle \pi -\frac{\pi }{3}\le 2\pi k\le \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{3},k\in Z}$

${\displaystyle \frac{2\pi }{3}\le 2\pi k\le \frac{13\pi }{6},k\in Z,}$

${\displaystyle \frac{1}{3}\le k\le \frac{13}{12},k\in Z}$

${\displaystyle \frac{1}{3}\le k\le 1\frac{1}{12},k\in Z}$

k = 1, значит, на данном промежутке из этой серии находится только 1 корень

${\displaystyle x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}}$

2) Серия решений ${\displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z}$

${\displaystyle \pi \le \frac{2\pi }{3}+2\pi m\le \frac{5\pi }{2},m\in Z,}$

${\displaystyle \pi -\frac{2\pi }{3}\le 2\pi m\le \frac{5\pi }{2}-\frac{2\pi }{3},m\in Z}$

${\displaystyle \frac{\pi }{3}\le 2\pi m\le \frac{11\pi }{6};m\in Z,}$

${\displaystyle \frac{1}{6}\le m\le \frac{11}{12};m\in Z}$

$m\in \mathrm{\varnothing },$ значит, из этой серии на данном промежутке корней нет.

3) Серия решений ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z}$

${\displaystyle \pi \le \frac{\pi }{2}+\pi n\le \frac{5\pi }{2},n\in Z,}$

${\displaystyle \pi -\frac{\pi }{2}\le \pi n\le \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{2}n\in Z}$

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\le \pi n\le 2\pi ,n\in Z,}$

${\displaystyle \frac{1}{2}\le n\le 2,n\in Z,}$

$[\begin{array}{c}n=1\\ n=2\end{array},$ значит, из этой серии на данном промежутке лежат 2 корня

$[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+2\pi \end{array},[\begin{array}{c}x=\frac{3\pi }{2}\\ x=\frac{5\pi }{2}\end{array}$

Таким образом, на заданном промежутке мы нашли 3 корня: ${\displaystyle \frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{3},\frac{5\pi }{2}.}$

Ответ:

а) ${\displaystyle {(-1)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in Z;\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z.}$

б) ${\displaystyle \frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{3},\frac{5\pi }{2}.}$