Задание №76857 ЕГЭ Физике

Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения:

$\mathrm{F}=\mathrm{G}\frac{{\mathrm{m}}_1{\mathrm{m}}_2}{{\mathrm{r}}^2},$

где:

• $\mathrm{F}$ — сила гравитационного взаимодействия,
• $\mathrm{G}$ — гравитационная постоянная,
• ${\mathrm{m}}_1$ и ${\mathrm{m}}_2$ — массы тел,
• $\mathrm{r}$ — расстояние между телами.

Для первых шариков массой $m$, находящихся на расстоянии ${\mathrm{r}}_1=0,40\text{\hspace{0.17em}м,}$ сила гравитационного взаимодействия:

$\mathrm{F}=\mathrm{G}\frac{\mathrm{m}\cdot \mathrm{m}}{{\mathrm{r}}_1^2}=\mathrm{G}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{r}}_1^2}\mathrm{.}$

Теперь рассмотрим два новых шарика с массами $2\mathrm{m}$ каждый и расстоянием ${\mathrm{r}}_2$ между ними. Сила взаимодействия между этими шариками:

$\mathrm{F}=\mathrm{G}\frac{\left(2\mathrm{m}\right)\cdot \left(2\mathrm{m}\right)}{{\mathrm{r}}_2^2}=\mathrm{G}\frac{4{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{r}}_2^2}\mathrm{.}$

По условию задачи, силы между первыми и вторыми шариками одинаковы, поэтому приравниваем силы:

$\mathrm{G}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{r}}_1^2}=\mathrm{G}\frac{4{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{r}}_2^2}\mathrm{.}$

Сокращаем $\mathrm{G}$ и ${\mathrm{m}}^2$ по обе стороны уравнения:

$\frac{1}{{\mathrm{r}}_1^2}=\frac{4}{{\mathrm{r}}_2^2}\mathrm{.}$

Теперь выражаем ${\mathrm{r}}_2$ через ${\mathrm{r}}_1$:

${\mathrm{r}}_2^2=4{\mathrm{r}}_1^2\mathrm{.}$  ${\mathrm{r}}_2=2{\mathrm{r}}_1\mathrm{.}$

Подставляем ${\mathrm{r}}_1=0.40\text{\hspace{0.17em}м}$:

${\mathrm{r}}_2=2\cdot 0,40\text{\hspace{0.17em}м}=0,80\text{\hspace{0.17em}м}\mathrm{.}$

Таким образом, расстояние между шариками вдвое большей массы равно $0,8 \mathrm{м}.$