Задание №84915 ЕГЭ Профильной математике

$$\begin{gathered} {\sin }^4\mathrm{d}-{\cos }^4\mathrm{d}=({\sin }^2\mathrm{d}-{\cos }^2\mathrm{d})({\sin }^2\mathrm{d}+{\cos }^2\mathrm{d})= \\ =({\sin }^2\mathrm{d}-{\cos }^2\mathrm{d})\cdot 1={\sin }^2\mathrm{d}-{\cos }^2\mathrm{d}= \\ =-({\cos }^2\mathrm{d}-{\sin }^2\mathrm{d})=-\cos 2\mathrm{d} \end{gathered}$$

$\cos (\mathrm{x}-\frac{3\mathrm{\pi }}{2})=\cos (\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x})=-\sin \mathrm{x}$

${\sin }^4\frac{\mathrm{x}}{4}-{\cos }^4\frac{\mathrm{x}}{4}=\cos (\mathrm{x}-\frac{3\mathrm{\pi }}{2})$

$-\cos \frac{\mathrm{x}}{2}=-\sin \mathrm{x}$

$$\begin{gathered} \cos \frac{\mathrm{x}}{2}=\sin \mathrm{x} \\ \text{Пусть} \frac{\mathrm{x}}{2}=\mathrm{m}\mathrm{.} \end{gathered}$$

$\cos \mathrm{m}=\sin 2\mathrm{m}\mathrm{.}$

$2\sin \mathrm{mcos}\mathrm{m}-\cos \mathrm{m}=0.$

$\cos \mathrm{m}(2\sin \mathrm{m}-1)=0.$

1. $\cos \mathrm{m}=0$

${\mathrm{m}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k},\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{.}$

2. $2\sin \mathrm{m}-1=0$

$\sin \mathrm{m}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$

${\mathrm{m}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{.}$

${\text{m}}_3=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi q},\mathrm{q}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{.}$

Обратно к $\mathrm{x}$:

$$\begin{gathered} \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k \\ {x}_1=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi n} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi q} \\ {\mathrm{x}}_3=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi q},\mathrm{q}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

$$Пункт\; Б:\; [-4\pi ;-\pi ]$$

1. ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi k},\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$\mathrm{k}=0\mathrm{x}=\mathrm{\pi }\text{(не входит, }\mathrm{x}>-\mathrm{\pi }\text{)}$

$\mathrm{k}=-1\mathrm{x}=\mathrm{\pi }-2\mathrm{\pi }=-\mathrm{\pi }\text{(входит, }\mathrm{x}=-\mathrm{\pi }\text{)}$

$\mathrm{k}=-2\mathrm{x}=\mathrm{\pi }-4\mathrm{\pi }=-3\mathrm{\pi }\text{(входит, }\mathrm{x}=-3\mathrm{\pi }\text{)}$

$\mathrm{k}=-3\mathrm{x}=\mathrm{\pi }-6\mathrm{\pi }=-5\mathrm{\pi }\text{(не входит, }\mathrm{x}<-4\mathrm{\pi }\text{)}$

2. ${\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$\mathrm{n}=0\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\text{(не входит, }\mathrm{x}>-\mathrm{\pi }\text{)}$

$\mathrm{n}=-1\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}-4\mathrm{\pi }=-\frac{11\mathrm{\pi }}{3}\text{(входит, }\mathrm{x}=-\frac{11\mathrm{\pi }}{3}\text{)}$

$\mathrm{n}=-2\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}-8\mathrm{\pi }=-\frac{23\mathrm{\pi }}{3}\text{(не входит, }\mathrm{x}<-4\mathrm{\pi }\text{)}$

3. ${\mathrm{x}}_3=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi q},\mathrm{q}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$\mathrm{q}=0\mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}\text{(не входит, }\mathrm{x}>-\mathrm{\pi }\text{)}$

$\mathrm{q}=-1\mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}-4\mathrm{\pi }=-\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\text{(входит, }\mathrm{x}=-\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\text{)}$

$\mathrm{q}=-2\mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}-8\mathrm{\pi }=-\frac{19\mathrm{\pi }}{3}\text{(не входит, }\mathrm{x}<-4\mathrm{\pi }\text{)}$

Ответ:
а) $\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi k},\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}};\frac{\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}};\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi q},\mathrm{q}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$
б) $-\frac{11\mathrm{\pi }}{3},-3\mathrm{\pi },-\frac{7\mathrm{\pi }}{3},-\mathrm{\pi }$