Задание №84966 ЕГЭ Профильной математике

а) $$\begin{gathered} {\cos }^4\mathrm{t}-{\sin }^4\mathrm{t}=({\cos }^2\mathrm{t}-{\sin }^2\mathrm{t})({\cos }^2\mathrm{t}+{\sin }^2\mathrm{t})\cdot 1= \\ ={\cos }^2\mathrm{t}-{\sin }^2\mathrm{t}=\cos 2\mathrm{t};\sin (\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{2})= \\ =-\sin (\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x})=-\cos \mathrm{x} \end{gathered}$$

${\cos }^4\frac{\mathrm{x}}{4}-{\sin }^4\frac{\mathrm{x}}{4}=\sin (\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{2})$

$\cos \frac{\mathrm{x}}{2}=-\cos \mathrm{x}$

$\cos \mathrm{x}+\cos \frac{\mathrm{x}}{2}=0;\frac{\mathrm{x}}{2}=\mathrm{m}$

$\cos 2\mathrm{m}+\cos \mathrm{m}=0$

$2{\cos }^2\mathrm{m}-1+\cos \mathrm{m}=0$

$2{\cos }^2\mathrm{m}+\cos \mathrm{m}-1=0$

$\cos \mathrm{m}=-1$

${\mathrm{m}}_1=\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi k},\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{.}$

$\cos \mathrm{m}=\frac{1}{2}$

${\mathrm{m}}_2=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi n};\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}}{2}=\mathrm{m} \\ {\mathrm{x}}_1=\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi k} \end{gathered}$$

${\mathrm{x}}_2=2\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi k};\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{.}$

$$x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n; \; n \in \mathbb{Z}.$$

$$x_3 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi q; \; q \in \mathbb{Z}.$$

пункт Б:

${\mathrm{x}}_1=2\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi k};\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$\mathrm{k}=-1⟹\mathrm{x}=2\mathrm{\pi }-4\mathrm{\pi }=-2\mathrm{\pi }\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(нет)}$

$\mathrm{k}=0⟹\mathrm{x}=2\mathrm{\pi }\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(да)}\mathrm{.}$

$\mathrm{k}=1⟹\mathrm{x}=2\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi }=6\mathrm{\pi }\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(нет)}$

${\mathrm{x}}_2=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi n};\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{.}$

$\mathrm{n}=0⟹\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(нет)}$

$\mathrm{n}=1⟹\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi }=\frac{14\mathrm{\pi }}{3}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(да)}$

$\mathrm{n}=2⟹\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+8\mathrm{\pi }=\frac{26\mathrm{\pi }}{3}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(нет)}$

${\mathrm{x}}_3=-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi q};\mathrm{q}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

$\mathrm{q}=0⟹\mathrm{x}=-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(нет)}$

$\mathrm{q}=1⟹\mathrm{x}=-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi }=\frac{10\mathrm{\pi }}{3}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(да)}$

$\mathrm{q}=2⟹\mathrm{x}=-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+8\mathrm{\pi }=\frac{22\mathrm{\pi }}{3}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}(нет)}$

Ответы:

a) $2\mathrm{\pi }+4\mathrm{\pi k};\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$;

$\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi n};\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$;

$-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi q};\mathrm{q}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

б) $2\mathrm{\pi };\frac{10\mathrm{\pi }}{3};\frac{14\mathrm{\pi }}{3}$