Задание №88772 ЕГЭ Профильной математике

а)  Решим уравнение

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{tg}}^2\left(\mathrm{x}\right)-\frac{5}{\cos \left(\mathrm{x}\right)}+4=0. \\ 2·\frac{1-{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)}{{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)}-\frac{5}{\cos \left(\mathrm{x}\right)}+4=0 \\ \left\{\begin{array}{l}2{\cos }^2\left(\mathrm{x}\right)-5\cos \left(\mathrm{x}\right)+2=0\\ \cos \left(\mathrm{x}\right)\ne 0\end{array}\right. \\ \cos \left({\mathrm{x}}_1\right)=-\frac{1}{2} \\ {\mathrm{x}}_1=\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \\ \cos \left({\mathrm{x}}_2\right)=-2<-1 - \text{не подходит.} \end{gathered}$$

б)  Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:

$$\begin{gathered} 1) 3\mathrm{\pi }\le \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}\le \frac{9\mathrm{\pi }}{2} \\ \frac{7\mathrm{\pi }}{3}\le 2\mathrm{\pi k}⩽\frac{23\mathrm{\pi }}{6} \\ \frac{7}{6}\le \mathrm{k}\le \frac{23}{12} \\ 1\frac{1}{6}\le \mathrm{k}\le 1\frac{11}{12}; \\ 2) 3\mathrm{\pi }\le -\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}\le \frac{9\mathrm{\pi }}{2} \\ \frac{11\mathrm{\pi }}{3}\le 2\mathrm{\pi k}\le \frac{31\mathrm{\pi }}{6} \\ \frac{11}{6}\le \mathrm{k}\le \frac{31}{12} \\ 1\frac{5}{6}\le \mathrm{k}\le 2\frac{7}{12}. \end{gathered}$$

Неравенство (1) не имеет решений в целых числах, из неравенства (2) получаем $\mathrm{k}=2$. Тогда искомый корень $\frac{10\mathrm{\pi }}{3}.$

Ответы:

а) $\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}};$

б) $\frac{10\mathrm{\pi }}{3}.$