Задание №88777 ЕГЭ Профильной математике

а)  Используя формулу приведения $\cos \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)=-\cos \left(\mathrm{x}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin \left(2\mathrm{x}\right)=2\sin \left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right),$ получаем:

$$\begin{gathered} \sin \left(2\mathrm{x}\right)-\sqrt{3}\cos \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)=0 \\ 2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)+\sqrt{3}\cos \left(x\right)=0 \\ \cos \left(x\right)·\left(2\sin \right(x)+\sqrt{3})=0 \\ \cos \left(x\right)=0 \\ {x}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ \sin \left(\mathrm{x}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; \\ {\mathrm{x}}_3=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}. \end{gathered}$$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-4\mathrm{\pi };-\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right].$

$$\begin{gathered} -\frac{5\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}=\frac{-15\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }}{6}=-\frac{16\mathrm{\pi }}{6}=-\frac{8\mathrm{\pi }}{3}; \\ -4\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}=-\frac{7\mathrm{\pi }}{2}. \end{gathered}$$

Получим числа: $-\frac{7\mathrm{\pi }}{2}; -\frac{8\mathrm{\pi }}{3}; -\frac{5\mathrm{\pi }}{2}.$ 

Ответы:

а) ${\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}; {\mathrm{x}}_3=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}.$

б) $-\frac{7\mathrm{\pi }}{2}; -\frac{8\mathrm{\pi }}{3}; -\frac{5\mathrm{\pi }}{2}.$